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3.因子旋转 为什么要旋转因子 因子分析的数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的含义，以便进行进一步的分析。如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。主要的正交旋转法有方差最大法和四次方最大法。 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷值平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷值时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷值尽量拉开距离，一部分的载荷趋于?1，另一部分趋于0。 根据求极值的原理，使 当公共因子个数m2时，可以将上述m=2的方法用于 对两因子的旋转，逐次对每两个公共因子进行旋转。每旋转一次，V值就会增大，即V是单调不减的，并且V是有界的，因为因子载荷的绝对值不大于1。因此，经过若干次旋转后，V变化相对就不大了，即可停止旋转。 回归法 因子分析的基本操作及案例 因子分析步骤： 1.选择分析的变量 2.计算所选原始变量的相关系数矩阵 3.提出公共因子 4.因子旋转 5.计算因子得分 例4 对我国30个省（西藏数据缺少）2008年的农业生产状况作因子分析。指标体系中有如下6项指标： X1 ：乡村就业人数 X2 ：人均经营耕地面积 X3 ：人均固定资产投资 X4 ：农村家庭基本纯收入 X5：人均农业产值 X6：增加值占GDP比重 首先对数据进行标准化处理，然后计算相关系数矩阵，结果如下： 通过相关系数矩阵计算其特征根和累计方差贡献率 将因子载荷阵进行方差最大正交旋转，得正交因子矩阵如下： 将6个指标按高载荷分成3类，并结合专业知识对各因子给予命名 作业 阐述因子分析的基本思想 因子模型与回归模型相比较之异同 因子分析与主成分分析之区别 因子分析与主成分分析之区别 主成分分析就是将多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 因子分析 第十章 因子分析模型 因子分析模型概述 因子载荷矩阵估计方法 因子旋转 因子得分 4 1 2 3 目录 5 因子分析的基本操作及案例 1.因子分析模型概述 基本思想： 因子分析是根据相关矩阵内部的依赖关系，把一些具有错综复杂关系的变量综合为数量较少的几个因子。通过不同因子来分析决定某些变量的本质及其分类的一种统计方法。 简单地说，就是根据相关性大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量相关性较低。每组变量代表一个基本结构，这个基本结构称为因子。 例1 某高校对其学生就以下6个方面进行综合考核，这6个方面是学生的词汇、阅读、写作能力，以及数字、代数、微积分的运算能力。而这6个方面可归结为学生的语文能力和数学能力两个方面。 例2 某公司与48名申请工作的人进行面谈，然后就申请人十五个方面进行打分，这十五个方面分别是：申请书的形式、外貌、学术能力、讨人喜欢的能力、自信心、洞察力、诚实、推销能力、经验、工作积极性、抱负、理解能力、潜力、入围公司的强烈程度、适应性。这15个方面可归结为应聘者的外露能力、讨人喜欢的能力、经验、专业能力这4个方面。 因子分析的特点 1、因子个数远远少于原有变量的个数； 2、因子能够反应原有变量的绝大部分信息； 3、因子之间不存在线性关系； 4、因子具有命名解释性。 因子分析的数学模型 假设原有变量有p个，分别用 表示，且每个变量的均值是0，标准差是1，现将每个原有变量用m（mp）个因子 的线性组合来表示，即： 因子分析的数学模型 在这个数学模型中，F称为公共因子，是不可观测的变量。因子可理解为高维空间中互相垂直的m个坐标轴；A称为因子载荷矩阵， 称为因子载荷，是第i个原始变量在第j个因子上的负荷； 称为特殊因子，表示原始变量不能被因子解释的部分。满足： 因子分析的几个相关概念 1、因子载荷 在因子不相关的前提下，因子载荷是第i个变量与第j个因子的相关系数。因子载荷越大说明因子与变量的相关性越强，所以因子载荷说明了因子对变量的重要作用和程度。 2、变量共同度 变量共同