高等数学(下)8-07.ppt

8.7 方向导数和梯度 8.7.1 方向导数 8.7.2 梯 度 小 结 练 习 题 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 思考题解答 思考题 练习题答案 * 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 问题的提出 ？ 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 定义 方向导数. 沿任意方向的方向导数存在不能保证偏导数存在,反之也然。 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 ^ ^ ^ （grad是gradient（梯度）的缩写） 对于二元函数 梯度的性质： (1) 梯度的方向是函数增长最快的方向. 结论 此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 例如： 函数 如图所示. 在几何上 表示一个曲面 等高线 梯度与等高线的关系： 梯度的方向与过点P的等高线上的法向量的一个方向相同，且指向等高线(函数值)增加的方向. 又由于沿梯度方向 的方向导数 等高线的画法 播放等高线 例如, 解 由梯度计算公式得 故