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导数及其应用 一、选择题 1．(2011年高考福建卷)(ex＋2x)dx等于(　　) A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 解析：选C.(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e. 2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析：选C.由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－， 即f′(x)＝＞0， x2－x－2＞0， 解得x＜－1或x＞2. 又x＞0，x＞2. 3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)0，则下列结论中正确的是(　　) A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 解析：选D.由题意，得x－1，f′(x)0或x－1，f′(x)0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点，故选D. 4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选B.y′＝＝， 故y′＝， 曲线在点M处的切线的斜率为. 5．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　) A. B．4 C. D．6 解析：选C.由，得其交点坐标为. 因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 dx＝dx ＝＝×8－×16＋2×4＝. 二、填空题 6．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[0，]上的单调递减区间是________． 解析：f′(x)＝1－2sin x， 令f′(x)≤0，即1－2sin x≤0， 所以sin x≥. 又x∈[0，]，所以≤x≤， 即函数f(x)的单调递减区间是. 答案： 7．设aR，若函数y＝ex＋ax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是________． 解析：y′＝ex＋a，问题转化为“方程ex＋a＝0有大于零的实数根”，由方程解得x＝ln(－a)(a0)，由题意得ln(－a)0，即a－1. 答案：a－1 8．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为________． 解析：依题意得f′(x)＝1·ex＋x·ex＝(1＋x)ex；f′(0)＝(1＋0)e0＝1，f(0)＝0·e0＝0，因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程是y－0＝x－0，即y＝x. 答案：(1＋x)ex　y＝x 三、解答题 9．设a0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x. (1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为－1，求a的值； (2)当0a1时，求函数f(x)的极值点． 解：(1)由已知得x0， f′(x)＝x－(a＋1)＋. 因为曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为－1， 所以f′(2)＝－1. 即2－(a＋1)＋＝－1，所以a＝4. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ ＝＝， 因0a1， 当x(0，a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(a,1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减； 当x(1，＋∞)时，f′(x)0， 函数f(x)单调递增． 此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点． 10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋bln x(x0，实数a，b为常数)． (1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值； (2)若a＋b＝－2，且b1，讨论函数f(x)的单调性． 解：(1)函数f(x)＝x2＋x－ln x， 则f′(x)＝2x＋1－， 令f′(x)＝0，得x1＝－1(舍去)，x2＝. 当0x时，f′(x)0，函数单调递减； 当x时，f′(x)0，函数单调递增； f(x)在x＝处取得极小值＋ln 2. (2)由于a＋b＝－2，则a＝－2－b， 从而f(x)＝x2－(2＋b)x＋bln x，则 f′(x)＝2x－(2＋b)＋＝， 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1. 当≤0，即b≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)； 当01，即0b2时，列表如下： x (1，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x)    所以，函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.11．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋c(c0)，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝ln x－h(x)． (1)求函数f(x)在x＝1处的切线斜率； (2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)若函数y＝2x－ln x(x[1,4])的图象总在函数y＝f