随机过程平稳过程推荐.pptVIP

鞅过程 重要特征 一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅。 若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使 称为鞅。 二、鞅在资产定价方面的应用 反之有 1 通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨 则有 债券的价格 即贴现债券价格的运动不是鞅 首页 2 通常一风险股票会有一正的期望收益。 其中 是一个正的期望收益率 股票价格 即风险股票不是鞅 对于一小间隔 可大体写成 3 期权 期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。 首页 尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅 4 下鞅转化成鞅方法 第一种 这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。 道布—迈耶分解 在一些普通条件下，一任意的连续时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，后部分的消除即可产生鞅。 第二种 找一个与给定的概率P等价的概率 ，计算新的条件期望，使其成为一个鞅。 首页 债券价格 例如 股票价格 可以找一概率分布 以使债券或股票价格通过无风险利率贴现变成鞅 返回 首页 第三节 鞅轨迹的特征 一、鞅轨迹的描述 则鞅的特征 是小的时间间隔 考虑鞅变化 它意味着鞅的增量是完全不可测的。 首页 定理1 均值遍历性定理 首页 证 由引理得 从而 故 首页 注 则 可表示为 定理2 自相关函数遍历性定理 则相关函数 具有遍历性的充要条件为 首页 其中 证 注 则 首页 三、均值函数与自相关函数的估计式 1 求相关函数常用的两种方法： 2 未知 的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。 在实际应用中， 的表达形式常常不能给出， 因此下面介绍第二种方法。 如果试验只在时间[0，T]上给出了 的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式： 首页 用上式估计m与 的方法，通常称为数字方法， 或称均值与相关函数的测量。 其具体做法如下： 1 得样本函数的N个值 将上面的积分表示为和式 2 3 首页 根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。 返回 首页 第六章 鞅和鞅表示 第一节 离散鞅 第二节 连续时间鞅 第三节 鞅轨迹的特征 第四节 鞅举例 第五节 鞅表示 第一节 离散鞅 一、离散鞅的定义及性质 定义1 （1） （2） 离散鞅序列 简称为鞅 首页 注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这种赌博使第n+1年的平均赌本仍为第n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。 首页 定义2 （1） （2） 简称 为鞅 （3） 首页 定理1 充分性显然 证 必要性用归纳法来证 由假设知 （1） 则有 首页 性质1 常数序列 为鞅。 证 性质2 即 证 依次递推，可得 首页 例1 令 且对任意 有 证 由条件期望的性质可得 且 所以 首页 例2 令 证 （1） （2） 所以 首页 定义3 （1） （2） 简称 为上鞅 （3） 二、上、下鞅的定义及性质 类似 下鞅 首页 关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅也为下鞅。 性质4 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅 首页 性质5 上鞅 下鞅 证明 同定理1类似。用数学归纳法 首页 性质6 上鞅 下鞅 证 由性质5得 上鞅 首页 上鞅 性质7 、 上鞅 下鞅 、 下鞅 证 上鞅 首页 上鞅 性质8