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§２.５ 随机变量函数的分布 §2.5 随机变量函数的分布 例1. 已知X的概率分布为  X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25求 (1) Y=2X+1 ；(2) Y=X2 的概率分布. 解: (1) Y -1 1 3 5 11 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 一般地, (1)若yk的值全不相同，则P{Y= yk}=P{X= xk}. 二 、连续型随机变量函数的分布 例2.设随机变量X具有密度 1.分布函数法 2. 公式法 定理 设连续型随机变量X具有概率密度fX(x) ，-∞＜x＜∞, 又设函数y=g(x)处处可导且恒有g’(x)0(或恒有g’(x)0),则 Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 例5. 设X～U(-π/2,π/2)，求Y= sinX的概率密度。 解: X的概率密度为 例6. 设X～N(μ,σ2)，求证Y= aX+b(a≠0)也服从正态分布. 证: X的概率密度为 例6. 设X～N(μ,σ2)，求证Y= aX+b(a≠0)也服从正态分布. 第三章 随机向量及其分布 引例： ⒈观测某作物新品种：Ω={某试验小区全部作物植株}，产量(X)，品质(Y)，抗病力(Z)是定义在Ω上的三个随机变量.即每一个试验结果对应三个实数值，称向量(X,Y,Z)为三维随机向量. ⒉饲料配方试验：成本(X1), 肉质(X2), 体重(X3), 动物生长速度(X4) . ⒊身体状况的抽样调查：身高(X),体重(Y). 1)二维随机向量（X，Y）的联合分布函数； 2)二离散型随机向量（X，Y）的联合概率分布； 3)二维连续型随机向量（X，Y）的联合概率分布； 4)两个重要分布. （1）F(x,y)是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1＜x2时，F(x1 ,y)≤F(x2 , y)， 对于任意固定的x，当y1＜y2时，F(x ,y1)≤F( x, y2)。 （2）0≤F(x,y)≤1, F(-∞，-∞)=0，F(+∞，+∞)=1， 对任意固定的y，F(-∞，y)=0， 对任意固定的x，F(x，-∞)=0。 （3） F(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即 F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)= F(x,y)。 （4）对于任意的x1＜x2, y1＜y2有下列不等式 F(x2 , y2)-F(x2 , y1)-F(x1 ,y2)+ F(x1 ,y1)≥0。 二、 离散型随机向量的概率分布 1. 定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值只有限对或可列多对时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 例1. 设袋中共有3红，2蓝，4白球，现从中任取2只，以X，Y 记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题. 解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数， （X，Y）的所有可能取值为（0，0）,（0，1）,（0，2), （1，0）,（1，1）,（2，0），依古典概型得 例1. 设袋中共有3红，2蓝，4白球，现从中任取2只，以X，Y 记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题. 解: 令X表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数， 三、 二维连续型随机向量的概率分布 2. 概率密度 f(x, y) 的性质 (1) f（x, y）≥0 例2. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度， 四、两个重要分布 1 均匀分布 若二维随机向量（X，Y）的（联合）概率密度为 若二维随机向量（X，Y）的（联合）概率密度为 （1） 设平面区 D 的面积为 A ，若随机向量（X，Y）的概率密度为 则称随机向量（X，Y）在区域 D上服从均匀分布。 （2）若区域 D内任一部分区域 D1，其面积为 A1，则有 下页 其中μ1,μ2，σ1，σ2，ρ均为常数，且σ1＞0，σ2 ＞0，|ρ|＜1， 则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，记为： （X，Y）~ N（μ1，σ12 ；μ2，σ22 ；ρ） 2 二维正态分布 下页 （X，Y）~ N（μ1，σ12 ；μ2，σ22