第14讲哈密顿算子2.ppt

* 《矢量分析与场论》 第14讲 哈密顿算子（2） 梅金顺 中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院 回顾：Hamilton算子1 Hamilton算子 梯度算子 旋度算子 散度算子 奥氏公式 斯托克斯公式 Laplace算子 回顾：Hamilton算子1 乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一个因子看作常数。 回顾：Hamilton算子1 主要内容 3. 算子运算 教材：第3章 3.算子运算 在应用这些公式的时候，设法将其中的常矢都移到 的前面，而将变矢都保留在 的后面。 算子的运算中，经常用到三个矢量的混合积公式，及二重矢量积公式， 3.算子运算 例4：证明 （14） 证：根据 算子的微分性质，应用乘积的微分法则，则有， 3. 算子运算 解： 例5：已知 ， ，求 。 3.算子运算 例6：设 ，求点 处 。 解：因为 ，故由 的雅可比矩阵 3.算子运算 例7：验证 ，其中 为常矢， 为 位置矢量。 证：斯托克斯公式为， 取 3.算子运算 例8：验证格林第一公式与格林第二公式， 证：奥氏公式为， 取 3.算子运算 证：同理可得， 两式相减，可得， 例8：验证格林第一公式与格林第二公式， 3.算子运算 证明： 例：证明 （习题7第1题）。 3.算子运算 例：证明（12）（习题7第2题）。 证： 3.算子运算 例：证明 （习题7第3题）。 证： 3.算子运算 例：证明 （习题7第4题）。 证： 3.算子运算 例：证明（习题7第5题）。 证： 3.算子运算 （1） 例：设 为常矢， ， ，求证（习题7第6题） （2） （3） （4） （5） 3.算子运算 证明：（1） 例：设 为常矢， ， ，求证（习题7第6题） （2） （3） （4） 3.算子运算 证明：（5） 例：设 为常矢， ， ，求证（习题7第6题） 3.算子运算（选讲） 求证 满足以下方程组（习题7第7题） 证明：因 代入， 例：已知函数 和无源场 分别满足， 有 求证 满足以下方程组（习题7第7题） 证明：因 代入， 例：已知函数 和无源场 分别满足， 有 3.算子运算（选讲） 证明：（1）格林第一公式为， （1） 例：设 为区域 的边界曲面， 为 的向外单位法矢， 与 均为 中的调和函数，证明 （2） （习题7第8题） （3） 3.算子运算（选讲） 证明：（1） 令 ，可得， 为调和函数，故 ，故有， 为 中调和函数的充要条件是， 3.算子运算（选讲） *