第03章 随机过程和随机场.ppt

第3章 随机过程和随机场 3.1 随机过程及其分布函数 3.2 随机过程的数字特征 3.3 随机场的概念 3.4 随机场的数字特征 3.5 随机场的局部平均理论 3.6 随机场的离散 3.1 随机过程及其分布函数 3.2 随机过程的数字特征 3.3 随机场的概念 3.4 随机场的数字特征 3.5 随机场的局部平均理论 3.6 随机场的离散 返 回 首 页 在理论上可以通过随机场的分布函数族来研究随机场的概率特性，但不适用于实际应用。因此，需要研究随机场的数字特征。 设X(u)是一随机场，固定u1，则X(u1)是一个随机变量，其均值为 式中f1(x1，u1)是X(u)的一维概率密度函数。均值mX(u)表示随机场X(u)所有样本函数xi(u)的平均中心点的场域曲面。 （3-30） 3.4随机场的数字特征 设X(u1)和X(u2)是随机场X(u)在u1和u2的状态，则 称为随机场X(u)的自相关函数，简称为相关函数。 （3-31） 3.4随机场的数字特征 为随机场X(u)的自协方差函数，简称为协方差函数。 类似地，称 （3-32） 协方差函数与相关函数之间的关系为 （3-33） 3.4随机场的数字特征 一个随机场，若任意平移位置坐标，其所有的联合概率分布函数保持不变，则称该随机场为均匀随机场，或严格齐次随机场。 在实际应用中，一般只考虑随机场的二阶统计特性，因此，仅要求其具有二阶均匀性。 3.4随机场的数字特征 一个随机场，若满足 mX(u) = 常数 (3-34) 则称此随机场是广义均匀的，或广义齐次的。若无特别声明，本书以后所述的随机场均指这类随机场，并称之为二阶均匀随机场，或二阶齐次随机场。 (3-35) 3.4随机场的数字特征 一个随机场，对于任意的点组u1，u2 ，…，um ? D，如果绕通过原点的任一轴的旋转变换使随机场的联合概率密度函数保持不变，则称该随机场为各向同性随机场。若只考虑随机场的二阶统计特性，在满足式(3-34)和(3-35)的条件下还满足 则称该随机场是广义各向同性随机场。可见这类随机场的概率特性与方向无关，而只与距离有关。 (3-36) 对于均匀随机场，可以将其定义的空间区域划分为若干个随机场单元，再将连续的随机场离散为随机变量集合，以便在随机有限元法中应用。 在讨论随机场的离散方法之前，先以一维随机场为例介绍随机场的局部平均理论。 3.5随机场的局部平均理论 局部平均与方差函数 设X(t)为一维连续参数均匀随机场，其均值为mX，方差为σX2，随机场X(t)在一个离散单元[t – T/2，t + T/2]上的局部平均定义如下： 式中T是局部平均单元的长度，XT (t)称为局部平均随机场。随机场X(t)与XT (t)的关系如图3-3所示。 (3-37) 3.5随机场的局部平均理论 由图3-3可见，XT (t)的均值不变(亦为mX)，其方差由下式得到： 式中γ(t)称为X(t)的方差函数，它表示在局部平均意义下对“点方差” σX2的折减。 (3-38) 3.5随机场的局部平均理论 3.5随机场的局部平均理论 方差函数γ(t)为一无量纲函数，它具有下列性质： γ(T) ? 0 (3-39) γ(0) = 1 (3-40) γ(–T) = γ(|T|) = γ(T) (3-41) 方差函数γ(T)与相关函数ρ(τ)存在以下关系： (3-42) 3.5随机场的局部平均理论 2. 相关偏度 随机场X(t)的相关偏度θ定义为： 将式(3-42)代入式(3-43)，可得计算相关偏度的公式为 随机场的相关偏度θ也可通过随机场的单边谱密度G(ω)得到，即 (3-43) (3-44) (3-45) 3.5随机场的局部平均理论 3. 随机场的相关结构 对于均匀随机场{X(u)；u ? D ? Rn}，由于其均值函数为一常数，故可化为以下形式： 式中X0(u)为随机场均值函数；Xε(u)表示均值为零的随机场。 由于Xε(u)的协方函数与相关函数相同，所以，随机场的相关结构通常是指Xε(u)的协方差函数或相关函数。 (3-46) 3.5随机场的局部平均理论 对于具体问题，随机场的相关结构常采用以下形式的相关函数： （2）协调阶跃型 （1）非协调阶跃型 (3-47) (3-48) 3.5随机场的局部平均理论 （4）指数型 （3）三角型 (3-49) (3-50) （5）二阶AR型 (3-51) 3.5随机场的局部平均理论