4.Gauss消元法_755008925.pptVIP

* ? 第四讲 高斯消元法 一、线性方程组和矩阵的初等变换 如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解方 程组. 保持方程组同解的变换叫同解变换. ? 解方程组, 就是要通过一系列能使方程组保持同解的 变换, 把原方程组化为容易看出是不是有解并在有解 时容易求出解的线性方程组. Cramer 法则只能求解方程个数等于未知量个数且系 数行列式非零的特殊线性方程组, 且计算量太大. ? 什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解要求? ? 同解变换能把方程组化为什么样的简单形式? 例1 解线性方程组 解 首先消去第二，三两个方程中含 x1 的项. 为此，将第 一个方程的 -2 倍加到第二个方程，第一个方程的 -1 倍加到 第三个方程，得到同解方程组: 消法变换: 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上 消法变换是同解变换. 换法变换: 交换两个方程的位置 换法变换是同解变换. 交换后两个方程, 得到同解方程组: 然后将第二个方程的–4倍加到第三个方程, 得到同解方程组: 倍法变换: 用一个非零数乘以某个方程 倍法变换是同解变换. 再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到同解方程组: 最后求得方程组的解为 定义1 上述三种变换称为线性方程组的初等变换. 用消元法解方程组实质上只是对方程组的系数和常数项进 行运算. 因此, 为了简化运算过程的表达形式, 可以只把线 性方程组 的 mn 个系数排成 m 行 n 列的矩形数表(称为类型为 m?n 的矩阵) 有时候也简记为 称为(1)的系数矩阵. 方程组(1)的系数和常数项可写成增广矩阵 线性方程组(1)的三种初等变换. 1. 用一个非零数乘以某个方程 2. 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上 3. 交换两个方程的位置 对应(1)的增广矩阵的三种初等行变换. 1. 倍法变换: 用一个非零数乘以某一行 cri (c ? 0) ? ri 2. 消法变换: 将一行的 k 倍加到另一行 kri+rj ? rj 3. 换法变换: 交换两行的位置 ri?rj 例如例1中将 的第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到: 可以用增广矩阵的初等行变换来表示为: 定义2 以上三种变换称为矩阵的初等行变换. 将 中第一个方程的 -2 倍加到第二个方程, 第一个方程的 -1 倍加到第三个方程，得到: 可以用增广矩阵的初等行变换来表示为: 将 的后两个方程交换, 得 可以用增广矩阵的初等行变换来表示为: 例1的消元求解过程可以用增广矩阵的初等行变换来表示为: 这个阶梯形矩阵所对应的线性方程组为 求得解为 例2 求解线性方程组 解 方程组的增广矩阵通过行初等变换可化为阶梯形矩阵： 这个阶梯形矩阵所对应的线性方程组为: 方程组(3)与原方程组(2)同解. 方程组(3)含三个方程, 五个 未知量, 将(3)中每个方程的第一个系数非零的未知量取作 基本未知量, 其余的未知量取为自由未知量, 自由未知量 其中 为任意常数, 代入方 任取参数, 程组(3), 可得到原方程组的全部解为： 其中 为任意常数. 例3 判断下列线性方程组是否有解？ 解 对增广矩阵 [A, b] 作初等行变换 其中第三行所表示的方程 0 = 2, 这是一个矛盾方程, 含 矛盾方程的方程组一定无解, 故原方程组无解. 无解方程组也称为不相容方程组; 有解的方程组称为相 容方程组. 例1, 2中的方程组都是相容的方程组, 但是例3中的方程 组是不相容方程组. 二、线性方程组有解的充要条件 定理1 通过初等变换一定可以化线性方程组(1)为阶梯形线 性方程组, 它的任意一个方程的第一个系数不为零的变元 (称为主元)的下标均比上一个方程的主元的下标要大. 证明 当 n = 1 时, 该方程组只有一个或没有主元, 定理显然 成立. 设定理对 n–1 个变元的线性方程组成立, 则对 n 个变 元的线性方程组(1), 若第一个变元的系数均为零, 则该方程 组即为一个有 n–1 个变元的线性方程组, 由归纳假设定理成 立, 若第一个变元有一个系数不为零, 通过换法变换不妨设 第一个方程的第一个变元的系数不为零, 通过消法变换一定 可以化其它方程中第一个变元的系数为零, 这样得到的除第 一个方程之外的其它方程组成的线性方程组为 n-1个变元的 线性方程组, 由归纳假设可通过初等变换化为一个阶梯形线 性方程组, 加上第一个方程所组成的线性方程组仍然是阶梯 形方程组, 且定理的其它结论也成立. 定理2 线性方程组(1)的