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第四单元 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 * 数学必修4 4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 （第一课时） 前面我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中的200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义呢？ 提出问题 （1）复习初中锐角三角函数定义 问： = ， = 。 （2）阅读课本，理解什么是单位圆。 （3）将锐角 放到直角坐标系中，其正弦、余弦函数又是怎样的呢？ （4）类比初中三角函数的定义，利用单位圆可否把锐角三角函数推广到任意角的三角函数呢？ （5）当角 的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号分别是什么呢？ 我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。在初中，我们学习了锐角 的正弦函数值： ，把角放到平面直角坐标系中，我们来看看会是什么情况呢？ 图1 如图1在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆，给定一个锐角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 则点P的纵坐标v是角 的正弦函数值,横坐标u是角 的余弦函数值,即 （锐角的正弦函数）。 o 1 由图1可知，当 时， 当 时， 。这样就得到定义在 上的角 的正弦函数 和余弦函数 以上定义不能包含所有的角，但是，我们可以仿照锐角正弦函数的定义，你认为该如何定义任意角的正弦函数？ 1 图1 o 一般地，如图2所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边与单位圆交点于点 那么点P的纵坐标 叫作角 的正弦函数，记作 点P的横坐标u叫作角 的余弦函数，记作 通常我们用 表示自变量，即 表示角的大小，用 表示函数值。这样，我们就定义了任意角的三角函数 和 它们的定义域为全体实数，值域为 。 o 图2 1 任意角的正弦函数.gsp 任意角余弦函数的定义 -单位圆定义法 观察图3，探究当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号的情况。并记忆自己的探究所得。将自己的思考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用。 单位圆1手动画 正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于 的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标 ＞0；点P在第三、四象限时，纵坐标 ＜0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的。 同样地，余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。 任意角的正弦函数.gsp 余弦函数的定义 回8填图表 我们来分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么？特别注意 既表示一个角，又表示一个实数（弧度数）。“它的终边与单位圆交于点 ”包含两个对应关系。从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数。特别指出的是：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，因此 不是 与 的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“ ”“ ”是没有意义的。利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域，对于正弦函数 ，因为 恒有意义，即 取任意实数， 恒有意义，也就是说 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域也是R。 例1在直角坐标系的单位圆中， （1）画出角 ； （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角 的正弦、余弦函数值。 解： （1）如图6，以原点为角的顶点，以 轴正半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P， 即为所求作的角。 1 图6 解： 点评：本例的目的是要熟悉角与单位圆的关系，巩固并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数形结合的思想解题。 （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角 的正弦、余弦函数值。 （3）根据任意角的三角函数定义，易得 （2）由于 点P在第四象限， 所以点P的坐标为 1 图6 1. 求 的正弦、余弦值。 解： 在