[研究生入学考试]1-极限与连续.ppt

习题课 一、主要内容 * （一）极限的概念 （二）连续的概念 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 两者的 关系 无穷大 1、极限的定义 左极限 右极限 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2、无穷小与无穷大 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质 定理 推论1 推论2 3、极限的性质 4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则 (夹逼准则) (1) (2) 6、两个重要极限 定义: 7、无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理) 8、等价无穷小的性质 9、极限的唯一性 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 非初等函数 的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 1、连续的定义 定理 3、连续的充要条件 2、单侧连续 4、间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 例1 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 二、典型例题 例2 解 解法讨论 例4 解 * *