[工学]1多元函数概念.ppt

多元微积分学 主讲: 孙学峰 利用空间中点的表示方法。 是无界闭区域 . 1 例6 二、多元函数 实际上, 在中学阶段我们已经接触过多元函数 . 例7 长方体体积 V 依赖于其长度 x , 宽度 y 及高 z ： 其中 x , y , z 各自独立变化, 所以V 是“自变量” x、y、z 的函数. 它是一个三元函数： 一元函数 X . R . f I 用映射的观点进行描述 一元函数 X . R 二元函数 x y o R . f D . f . X I 矩形的面积 S = x×y 用映射的观点进行描述 一元函数 X . R 二元函数 x y o R . f D . f . 三元函数 x y z o . R . f X X I 长方体体积 V = x×y×z 用映射的观点进行描述 R . . 定义 习惯上, 称 按自变量的个数将函数称为二元、三元、 及 n 元函数. 为点 X 的函数, 而称 为自变量. 俗称“点函数” 多元函数的表示方法 解析法 表格法 图形法 二元函数的图形 二元函数的图形在几何上表示为空间 中的曲面. 例如, 前面学过的一些二次曲面就是相应 的一些二元函数的图形. O x y z D . . 的投影即为函数的定义域. 二元函数 的图形在 x y 平面上 求下列函数的定义域: 想想, 该怎么求？ 与一元函数的情形进行比较 例8 解 由分母不能为零可知, 该函数的定义域为 x y 平面上除 以外的所有点： O x y 求下列函数的定义域: 与一元函数的情形进行比较 例9 对数函数 分母不能为零 负数不能开偶次方 由对数函数知识、分母不能为零、负数 不能开偶次方, 得 x y 故原函数的定义域为 1 解 例10 解 多元函数也有复合函数、 与一元函数中的情形类似 隐函数等. 例11 代入 多元函数的初等函数概念与一元函数的 情形类似. 如 分别是二元和三元的初等函数 . 在一维空间中有去心邻域，高维空间中也有去心邻域。女厕称 想一想，二维、三维空间中，点X0的取心邻域，在几何图形是什么？ * Tel：8714137 E-mail: mathsxf@126.com 高校理科通识教育平台数学课程 微积分学(二) 多元微积分学 授课教师 孙学峰 ● 多元微积分 高等院校非数学类本科数学课程 第一章 多元函数微分学 第一节 多元函数的概念 1.邻域 一.区域 回忆一维空间中点的邻域概念 点 的 邻域 ( ) . 利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间 点 的 邻域 ( ) . 利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间 回忆一维空间中点的邻域概念 为 中点 邻域, 记为 的 则称集合 设 为实数, 想想:二维空间中点的邻域是什么样子 ? O x y . O x y z . 则称集合 去心邻域的概念也可搬过来. 2．开集、 闭集、 有界集 E 边界点 外点 内点 · · · 集合的内点、外点、边界点 边界点不一定属于集合 ? 集合 E 的聚点 聚点 例1 聚点. O x y . . . 1 . 聚点可能属于集合 E , 也可能不属于集合 E . 集合的孤立点 集合的孤立点一定是集合的边界点. 孤立点是否为集合的边界点？ 的所有点均为 E 孤立点 . . (1,1) . . . . . . . 例2 集合 开集、闭集、 喂！是所有聚点哦！ 由内点构成的集合！ 有界集 坐标原点 y x O E r E O 无界集 E E 集合的连通性 连通集 单连通集 复连通集 分为 集合的连通性 单连通 复连通 E E . . . . 不连通 E . . 是有界 判别下列集合的有界性、连通性及开闭: 是无界 是有界 连通 开集 连通 闭集 连通 非开非闭集 例3 ? 3.区域 区域是连通开集. 区域 ? 的内点及边界点都是它的聚点. 注意：集合的聚点 不一定属于集合. 的所有边界点构成的集合 的边界, 记为 称为 区域的所有边界点构成的集合, 称为区域的边界. 区域的边界 区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域. 记为 O x y 2 例4 O x y 2 例5 在不至于引起混淆时, 我们将开区域、闭区域、含部分边界的区域 等统称为区域 , 记为 称为 区域的直径. 在二维及二维以上的空间中,闭区域是否一定有界 ？ 答案： 不一定 . 试举一例 区域的“闭”仅指“包含所有的边界点”.