毕业设计（论文）-循环矩阵在密码学中的应用精选.doc

题 目学生姓名 学号 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 指导教师 2015 年 5 月 10 日循环矩阵在密码学中的应用 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班级，陕西 汉中 ） 指导教师： [摘要]矩阵是线性代数的重要构成部分，而循环矩阵就是一类有特殊结构的矩阵，在许多实际问题中有广泛的应用，有关循环矩阵的问题仍是矩阵论研究中的热点。在当今社会，随着科学技术水平的迅速发展，我们需要更深入的研究数学工具在现实中的实际应用。密码学是研究编译密码和破解密码的尖端技术科学，与数学、信息学、计算机科学有着广泛而密切的联系，由于循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一类特殊矩阵，具有良好的性质和结构，因而关于循环矩阵的研究非常活跃，本文中简单介绍了ElGamal密码体制，以及循环矩阵在ElGamal中加密解密过程的描述。利用循环矩阵在密码学中的研究，探索循环矩阵在几类典型密码中加密和破译的研究有着重要的现实意义。 [关键字]循环矩阵；密码学；有限域 循环矩阵的概念 定义1.1 设如果矩阵的最小多项式等于特征多项式，则称为循环矩阵. 定义1.2 设是维向量空间上的一个线性变换，若存在向量，使得 线性无关.则称为的一个循环向量. 定义1.3 已知阶基本循环矩阵 ， 并令 ， 称为循环矩阵基本列（其中为单位矩阵）. 2. 循环矩阵的性质 2.1 循环矩阵基本性质 性质2.1.1 循环矩阵基本列是线性无关的. 性质2.1.2 任意的阶循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出，即 . 性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 证明 设，B=，则 += 显然也为循环矩阵. 定理2.1.1 设都为阶循环矩阵，则有： （1）乘积仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即； （2）若可逆，则的逆矩阵也是循环矩阵； 证明 (1)设， ，因为（其中为非负整数，），所以 ， 此处为不高于次的多项式，因此为阶循环矩阵，且. (2)设为阶可逆循环矩阵，欲求的逆矩阵，需求得矩阵 ， 满足条件即可. 设，，有 ()() = 要使，则以下方程组必须成立： 解以上方程组可转化为求解：，因为可逆，所以 ，因此方程有唯一的解，可得到唯一的矩阵，为的逆矩阵，且为循环矩阵. 性质2.1.4 阶循环矩阵的伴随矩阵也是循环矩阵. 证明 伴随矩阵，由定理2.1.1可知 为循环矩阵，因此 也是循环矩阵. 2.2 关于循环矩阵的判定相关性质 由定义1.2，有如下性质： 引理2.2.1 设则. 定理2.2.1 设则为循环矩阵的充要条件是矩阵 是满秩的. 由定义1.3，有如下性质： 引理2.2.2 设是维向量空间上的一个线性变换，有一个循环向量的充要条件是的最小多项式等于特征多项式. 由此可知为循环矩阵的充要条件是有一个循环向量. 定理2.2.2 设，则为循环矩阵. 证明 由于，故，即的核空间的维数小于的核空间的维数.所以必存在向量，使得，而. 下面证明就是的一个循环向量，即线性无关. 设，且满足，则 . 所以，，从而 ， 即，所以，. 依次类推下去，可得，因此线性无关，即为的一个循环向量，所以是循环矩阵. 2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论 推论2.3.1 循环矩阵可逆的充要条件是方程无单 位根. 推论2.3.2 设是以为元素的阶循环矩阵，则可逆的充要条件是与互素，即. 证明 由，可逆的充要条件是，即 与没有公共根，从而. 推论2.3.3 若与互素，则 ， ……都与互素. 证明 因为分别以的系数为元素的循环矩阵和以的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论. 2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论 定理2.4.1 设循环矩阵，则 其中，，即为所有次单位根. 我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中，，所表示的意义均和定理2.4.1相同. 推论2.4.1 循环矩阵的秩为中不是零数的个数. 2.5 循环矩阵对角化相关性质 性质2.5.1 任何一个循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似. 证明 阶循环矩阵的特征值为 由于又因相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵，. 设是任意一个循环矩阵，则相似于对角矩阵 diag 事实上， 定理2.5.1 任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵. 证明 设是阶对角矩阵 其中为复数. 构造线性方程组 其中是阶循环矩阵的特征值 则以为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且互不相等，从而系数行列式不为零.