对数与对数函数参考教案.docVIP

对数运算和对数函数 要求层次 重难点 对数的概念及其运算性质 B 理解对数的概念 掌握当底数与时，对数函数的不同性质 掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题 换底公式 A 对数函数的概念 B 对数函数的图象和性质 C 指数函数与对数函数互为反函数（且） B 版块一：对数的定义和相关概念 （一）知识内容 1．对数：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 关系式 指数式 底数 指数 幂（值） 对数式 底数 对数 真数 对数恒等式及对数的性质，对数满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵的对数是零，即； ⑶底的对数等于，即． 2．常用对数：通常将以为底的对数叫做常用对数，并把记为． 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并且把记为． 4．对数与指数间的关系：当时，． 5．指数和对数的互化： ．， 版块二：对数的运算性质和法则 （一）知识内容 1．对数的运算性质： 如果，且，那么： ⑴；（积的对数等于对数的和） 推广 ⑵；（商的对数等于对数的差） ⑶ ⑷ （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） 2．换底公式：（） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于且不等于的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． ． 3．关于对数的恒等式 ①②③④⑤ 版块三：对数函数 1．对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集． 2．对数函数的图象和性质： 一般地，对数函数且）的图象和性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 ⑴过定点，即时， ⑵在上是减函数； （2）在上是增函数． 计算： 计算： 计算： （04-北京-模拟）已知，． 用表示 解方程： 已知，其中为素数，且满足，求证： （2004-全国高中数学联赛）不等式的解集为_______ 板块二：对数函数及其性质 1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正． 根据对数的性质可知：当底数和真数同在上或上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在上另一个在上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用． 2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于对称，单调性一致． 3．对数函数恒过点，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数无关的，不随的变化而变化． 　例如，函数且恒过一定点，则该点的坐标为　　　．我们知道，这是与无关的一个等式，于是则，从而，故定点为 4．掌握对数函数性质，在时，函数为增函数；在时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，逐渐变小． 6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用． 7．形如的函数定义域为或值域为时的等价转换．已知函数，其中，求它的定义域和值域 已知，试确定和的关系． 设，且，试比较与的大小． 设，满足：，如果有最大值，求此时和的值． 当a为何值时，不等式有且只有一解 （00-京皖春季-理T21）设函数，若，且，证明： 设，其中表示、中的较小者，求的最大值 板块三：指数函数与对数函数 求下列函数的反函数：①； ②； ③； ④ 【铺垫】函数，则的定义域是（　　） 　　　　A．　　　　　　　　　　　　　B． 　　　　C．　　 　　　　　　　D． 求函数，的反函数． 　　已知函数 ，求它的反函数 已知，，且，，．则与 的图象　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A．关于直线对称；　　B．关于直线对称； C．关于轴对称；　　　　　 　D．关于原点对称． （04-全国-理15）已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则已知实数，函数且 求证：函数且的图象关于直线成轴对称图形． 设分别是方程和的根，求及 已知，则方程的解集为_________． 已知函数，且，． 求的值； 求的表达式； 当时，的值域并判断的单调性． 计算 已知， （1）求证：；（2）比较的大小； 已知， ⑴求的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；解不等 如图曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于，，，的值依次是 ． 设且．求 的值 设，，是否存在的值，使． 解方程： （其中表示不大于实数的最大整数） 方程有多少个实数根． 设，都是正实数，求使取负值时的取值范围． 设且．求的值 设函数的图象关于直线对称，求应满足的条件． 已