数学期望 绝对收敛 论数学期望定义中绝对收敛.docVIP

数学期望 绝对收敛 论数学期望定义中绝对收敛 导读：就爱阅读网友为您分享以下“论数学期望定义中绝对收敛”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! ２００８年９月第３期 哈尔滨金融高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＨａｒｂｉｎＳｅｎｉｏｒＦｉｎａｎｃｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ 总第９５期 论数学期望定义中“绝对收敛” 孙 （哈尔滨金融高等专科学校 伟 基础部，黑龙江哈尔滨１５００３０） 摘要：从收敛分为条件收敛与绝收敛的角度出发，通过具体例子论述了条件收敛的级数，会因为更改级数各项的顺序而导致其和发生改变。而绝对收敛的级数，更改绝对收敛级数中各项的位置，其和保持不变。离散型随机变量的期望是一个确定的数值，期望或均值不会因为这个式子中各项积的顺序的更改，而改变其值。能够保证这个结论成立的只有绝对 收敛。 关键词：数学期望；绝对收敛；级数 我们在概率论学习中，在学习数学期望定义时，无论是学生还是有些教师经常被数学期望定义中“绝对收敛”所困惑。经常问，为什么收敛不可以？。下面以离散型随机变量为例，探讨数学期望定义中“绝对收敛”的意义。 离散型随机变量期望定义：离散型随机变量￡的分布律为 Ｐ｛￡＝ｘｋ）＝Ｐｋ（ｋ＝ｌ，２Ｌ），若级数．∑．ｚＰ－绝对收敛，则∑ｘ，ｐ。称为随机变量的数学期望，记作Ｅ￡，即 Ｅ￡ －一÷一÷＋÷一÷一÷＋÷一軎＋一一Ｌ 加上括号。 ． ｃ２， １－丁一下＋丁一百一ｉ＋了一可＋一．Ｌ【２Ｊ根据收敛的级数满足结合律并且和是不变的。将（２） １１１１１１１ ， １＿丁一了＋了一百一ｉ＋了一可＋一－Ｌ ＝（１一ｉ１）一÷＋了Ｉ一÷）一÷＋（÷一击） 吉＋—－Ｌ ３） ＝．∑．茗ＩＰ．＝ｘ，ｐＩ＋ｘ２Ｐ２十￡＋量。Ｐ。＋Ｌ 由定义，我们看到，当离散型随机变量￡的分布律为Ｐ｛￡＝ｚ。ｌ＝Ｐ。（＾＝１，２Ｌ）一旦确定，且它的期望或者说均值存在的话，石ｌＰＩ＋鼻２＋￡＋，。Ｐ＋￡就是一个确定的数值，该数值不会因为这个式子中ｚＩＰＩ＋石２Ｐ２＋￡＋ｘｋｅｋ＋￡各项积的顺序的更改，而改变其值。这也是要求ｚ．Ｐ。＋ｘ：尸２＋￡＋扎＾＋ｒ绝对收敛“，而不是“收敛”的关键所在。 由数学分析，我们知道，级数收敛分为条件收敛与绝对收敛。对于条件收敛的级数，如果更改级数各项的位置，或者说交换级数项的顺序所得到的新形式的级数，如果和存在，其和是否保持不变？我们来看下面的例子 后， ＝÷一上４＋上６一÷＋击０一上１２＋一Ｌ＝÷（÷＋÷一了ｌ＋Ｌ）＝丁Ｉ 。 ２８ｌ ｓ 由此说明将条件收敛的级数（Ｉ）更改一些项的顺序 级数的和发生了改变，且为÷ｓ 我们再作如下调整。将（１）两端同乘以÷。得到÷一÷＋÷一÷＋击＋ｏ一击＋Ｌ＝丁ｌｓ（４）丁一下＋ｉ一丁＋面＋ｕ一西＋Ｌ２丁８ ４） 可以写成 级数。荤．＝－一÷＋÷一÷＋￡＋（一“÷＋Ｌ条件 ｎ 二 ｊ 斗 ｎ ｏ＋÷＋ｏ一÷＋吉＋ｏ一÷＋ｏ＋吉＋ｏ＋吉＋Ｌ＝ ｛Ｂ百８ （４）１４， 将（Ｉ）与（４）两端对应相加得到 收敛，设其和为 即１＿寺＋÷＋一÷＋Ｌ（一１）”１＋Ｌ＝ｓ 现在把级数（１）的一些项的顺序作如下调整 （１） －＋ｏ＋÷＋ｏ一÷＋ｏ＋÷＋ｏ＋÷一÷＋÷＋ｏ＋Ｌ ［收稿日期］２００４—０３—３１ 一７１— 万方数据 ３ ５下８ １ （５） 所以，新级数毒。：的绝对收敛，又因为 ｎｔＩ 由（５）看到．左端就是在级数（１）的基础上更换了顺 ∑．：＝∑（口：一埘：）＝口一坩 ，Ｉ 序，然而，级数（１）的和却变为÷３ 二 即∑ｆｌ，：＝∑‰和不变 由上所述．更改绝对收敛的级数中各项的顺序所得到的新级数，是收敛的，且其和保持不变。 口 由此看到，条件收敛的级数．如果更改级数各项的顺序所得到的新形式的级数，如果和存在，其和是改变的。但是一个绝对收敛的级数，更改级数中各项的顺序所得到的新级数，是否收敛，如果收敛，其和是否改变？ ■ ■ ■ 事实上，由黎曼定理，如果一个级数∑ｌ。条件收敛，则适当地交换各项的位置，可以作成收敛于任意给定的数盯的收敛级数，还可以作成发散级数。而由绝对收敛级数的性质，更改绝对收敛的级数中各项的顺序所得到的新级数，是收敛的，且其和保持不变。因此，在期望定义中，要求∞Ｉｐｌ＋鬈２Ｐ２＋Ｌ＋ｘ＾ｐ－＋ｒ绝对收敛”．而不是“收敛”。 在概率论的期望定义中，要求＃ｌｐＩ＋ｚ２Ｐ２＋工＋牟几＋￡绝对收敛的前提下，才将一，。＋石：Ｂ＋￡＋膏护．十￡定义为随机变量￡的数学期望。在期望定义中若不是绝对收敛，就不能将名ｔｐｌ＋ｘ２Ｐ２＋￡＋ｘｔｐＩ＋Ｌ作为随机变量的数学期望。．此时我们说期望或均值不存在。看下面的例子 ．，● 设级数∑绝对收敛，且∑＝ｓ，更改级数∑“７．中项的顺 ｕ＾ 。＾ ＾。ｌ ■ 序所得到的新级数为。下面分两种情况探讨，∑“：是否收 ＾ｏｌ ＿ ■ 敛，且是否满足