x届高考数学全程复习知识点同步学案第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 平面向量的数量积及应用举例.docVIP

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos_θ，规定0·a＝0. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 性质几何表示坐标表示模|a|＝eq \r(a·a)|a|＝eq \r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))夹角cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))·\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq \r(（xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)）（xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)）)　　[做一做] 1．(x·高考x卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________． 解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±3 2．(x·高考江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝eq \f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________． 解析：|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－xe1·e2＋4|e2|2＝9－x×1×1×eq \f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3. 答案：3 1．辨明三个易误点 (1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0eq \a\vs4\al(＝)0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． (2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. (3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为π时??成立)． [做一做] 3．已知向量a，b和实数λ，则下列选项中错误的是(　　) A．|a|＝eq \r(a·a)　　　　　 B．|a·b|＝|a|·|b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b| 解析：选B.|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知选项B是错误的． 4．(x·x武汉调研)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2eq \r(3)，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　) A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6) 解析：选D.a⊥(a＋b)?a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－eq \f(\r(3),2)，故所求夹角为eq \f(5π,6). eq \a\vs4\al(考点一)__平面向量数量积的运算______________ 　(1)(x·沧州模拟)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则eq \f(x1＋y1,x2＋y2)的值为(　　) A.eq \f(2,3)　　　　　　　 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D．－eq \f(5,6) (2)(x·高考x卷) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq \o(CP,\s\up6(→))＝3eq \o(PD,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))的值是________． [解析]　(1)由