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§3 §3.1 泰勒定理 1. 构造 n 次近似多项式 例1. 设 2. 余项估计 泰勒中值定理 : 特例: 在泰勒公式中若取 §3.2 几个初等函数的麦克劳林公式 §3.3 带佩亚诺余项的泰勒公式 几个初等函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式 例2 求下列函数带佩亚诺余项的4阶麦克劳林公式 3） §3.4 泰勒公式的应用 例3. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 2. 利用泰勒公式求极限 例4 求极限 例5. 3. 利用泰勒公式证明不等式 内容小结 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P115 ~ P117 ) 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P115 ~ P117 ) 思考与练习 ( P.122 7(2)) ( P.122.8.) 求 作业分析: ( P.85. 138.) 泰勒 (1685 – 1731) 麦克劳林 (1698 – 1746) 下式减上式 , 得 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 解 方程两边求n阶导数： 即 代入 , 可得 由 得 由 得 则 作业 P121 1 ; 4.(1) (3); 7.(1) (2) ; 8. 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . * §3.2 几个初等函数的麦克劳林公式 §3.1 泰勒定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §3.3 带佩亚诺余项的泰勒公式 — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章 §3.4 泰勒公式的应用 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要求: 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则 注意：这里有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 求 令 (称为余项) , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 其中 类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 注意到 ③ ④ 定理 ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式④ 称为带佩亚诺 余项的泰勒公式. 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 机动 目