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例3：利用上面的规律求下列极限 解: 分子分母分解因式 第二章 函数的极限与连续 ?? ? 战国时期哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》中有这样一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。也就是说一根一尺长的木棒，如果每天截取一半，这样的过程可以无休止地进行下去。我们关心的是这个过程中木棒长度的变化趋势。 一．无穷小量与变量的极限 第1节 极限的概念 ?? ? 从表中可以看到，当截取的天数越来越多时，剩余木棒的长度越来越小，并且随着天数的无限增大，剩余长度可以无限的减小，其绝对值可以小于任意给定的正数。 如要 只需 ，即截取10天 如要 只需 ，即截取20天 ?? ? 如果某个变量 的变化趋势是：其绝对值 越来越小，可以小于任意事先给定的正数，则称此变量 无限趋近于0，记为 。 ?? ? 如果某个变量 的变化趋势是：其绝对值 越来越大，可以大于任意事先给定的正数，则称此变量 趋近于无穷大，记为 。 定义：设 是一个变量， 是一个常数 (1)如果 无限趋于0，则称 的极限为0，并称 为无穷小量，记为 ； (2)如果 无限趋于0，则称 的极限为 ，记为 ； (3)如果 趋于 ，则称 的极限不存在，并称 为无穷大量，记为 。 表示变量 无限趋于0 表示变量 无限趋于常数 表示变量 沿着 轴正向趋于 表示变量 沿着 轴负向趋于 当 是 的函数时， 的变化趋势由 的变化趋势决定 例1：判断下列函数当 和 时，是否为无穷小量？ (1) (2) (3) (4) 解： 由函数图形可知 为无穷小量 为无穷大量 由函数图形可知 为无穷小量 为无穷大量 由函数图形可知 由函数图形可知 为无穷大量 为无穷小量 为无穷小量 为无穷大量 例2：指出当 趋于何值时， 是无穷小量？ (1) (2) (3) 为无穷小量 为无穷小量 为无穷小量 说明： (1)自变量不同的变化趋向得出因变量的变化趋向是不一样 的。 (2)看函数的变化趋势主要是从函数的图像上去看，所以要 熟悉函数的图像。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 二、 时，函数 的极限 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 二、 时，函数 的极限 正十二边形的面积 正 形的面积 所失面积 所失面积 所失面积 正六边形的面积 定义：如果当 时，函数 与常数 的差 为无穷小量，即 ，则称 时，函数 以常数 为极限，记为： 类似可定义当 时以及 时，函数 的极限 一般地 例3：求下列极限（常用要记住的！） 解： 例4：求下列极限（常用要记住的！） 解： 极限不存在或者无穷大量 极限不存在 三