[数学]第四节、正态分布.pptVIP

错解分析　在上述解法中，忽视了概率与所给区间的对应关系．事实上，在所求问题(1)，(2)的结果中，除包含要求的概率外，还有与此对称的另一部分，故造成了错误． 正解　(1)设学生的得分情况为随机变量x，x～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10. 在60～80之间的学生的概率为P(70－10X≤70＋10)＝0.682 6， 根据正态曲线关于x＝70对称知，不及格的学生的概率为(1－0.682 6)＝0.158 7， 即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90内的学生的比为： [P(70－2×10X≤70＋2×10)－P(70－10X≤70＋10)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 即成绩在80～90间的学生占13.59%. 详 见 Word 文 档 “课时作业” 第四节 正态分布 正态分布的简单概率计算 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X≥5)． (参考数据：P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997 4.) 分析　观察随机变量的范围与μ，σ的联系，利用正态分布在三个特殊区间的概率值和性质，逐一求三个概率． 解　 规律总结　正态分布的简单概率计算是正态分布应用的基础．应熟悉正态曲线的性质.在给出相关参考数据的条件下，应该能进行熟练而准确地计算． 变式训练1 设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)． 【解析】 如图所示，由正态密度曲线的对称性可得 概率密度函数的性质及应用 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 （1）求该正态分布的概率密度函数得解析式； （2）求正态总体在（-4，4]的概率. 分析 利用正态密度函数的性质，结合已知条件，用待定系数法求函数的解析式.结合解析式及参考概率值求相关概率. 解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即 又因为该概率密度函数的最大值为 即 解得 故该正态分布的概率密度函数得解析式是 （2） 规律总结　 概率密度函数既然是函数，就可以从函数的角度对其进行讨论，譬如待定系数法求解析式，研究函数及图象的性质等．因此充分利用函数密度曲线的对称性及3个区间内的概率值，求解其它区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考试题的一个命题方向． 变式训练2 已知正态总体的数据落在（-3，-1）里德概率和落在（3，5）里德概率相等，那么这个正态总体的数学期望是多少？ 【解析】 正态总体的数据落在这两个区间里德概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间（-3，-1）和（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，又正态曲线关于直线x= μ对称， μ的概率意义就是期望，而区间（-3，-1）和（3，5）关于x=1对称， 所以正态分布的数学期望是1. 用正态分布估计实际问题的频率 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ (参考数据：P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997 4.) 分析　弄清所给实际问题的两个区间与该正态分布的联系，依据参考数据进行估计． 解　∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝ ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.9544. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. ∵正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6， ∴考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0.682 6. ∴考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)． 规律总结　由概率分布估计实际问题在某个范围内的频率，是概率分布的重要应用．其关键是明确所给区间与正态分布的关系，恰当参考相关数据，进行准确计算． 变式训练3 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布 问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有多少个？ （参考数据： 【解析】 ∴不属于区间（3，5）的概率为 即不属于