[数学]第1、2节 系统的数学模型.pptVIP

第 二 章 第一节 系统的微分方程 （Differential equations） 微分方程：是时域中描述系统动态特性的数学模型. 是最基本的数学模型形式，是列写传递函数的基础 微分方程的类型 非线性系统：用非线性微分方程描述。 例： 液压伺服马达运动方程的线性化 液压马达的工作原理是：当阀芯右移 x ，即阀的开口量为x 时，高压油进入油缸左腔，低压油与右腔连通，故活塞推动负载右移y 。 流体连续方程为 说明： A.线性化时,各自变量在工作点处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性，各阶导数处处不存在，本质非线性； B.必须明确工作点的参数； C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只能适用于变量的微小变化。 　第二节　拉普拉斯变换及反变换 复数及复变函数 (1) 复数的概念 在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程 对于任意二实数σ, ω， 称为复数，其中σ, ω分别称为s的实部和虚部，记作 要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。 共轭复数 实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数。 对于 2.复变函数 例：有复变函数G(s)=S2+1,当s＝ σ＋j ω，求其实部u和虚部v。 常用函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数为 (2) 单位脉冲函数的拉普拉斯变换单位脉冲函数为 (3)单位斜坡函数的拉普拉斯变换单位斜坡函数为 拉普拉斯变换为 (4)指数函数的拉普拉斯变换指数函数： 拉普拉斯变换为 几个重要的拉氏变换 例3 求下图所示函数的拉氏变换。 解：分步骤分析 （1） （3） （4） 例 主要用于解微分方程和求传递函数 例2：求解微分方程 是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定 从而j是方程 的一个根。 当σ=0 时, 称为纯虚数; 当ω=0时, s就是实数。 的共轭复数为 复数的表示方法： 1）点表示法 2）向量表示法 向量的长度－即模 幅角 3) 三角表示法和指数表示法 因此，复数的三角表示法为： 利用欧拉公式 故复数s也可用指数表示 U，v分别为复变函数的实部和虚部，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是s的单值函数，对应于s的一个给定值，G(s)就唯一地被确定。 　 一、拉普拉斯变换The Laplace transform 1. 拉氏变换的定义 拉普拉斯变换为 拉普拉斯变换为 同理可得 1/(s+a) t coswt 1/s 1(t) sinwt 1 δ(t) F(s) f(t) F(s) f(t) 记住 2.常用的拉氏变换定理 例 已知 求 的拉氏变换。 解：应用线性性质，则 （2）延迟定理 如图所示，原函数沿时间轴平移a， 平移后的函数为f (t-a)。 若L[f(t)]= F(s)，则 例1： 求函数 的拉氏变换。 解：由延迟性质得： 例2：求图示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为 （2） 进行拉氏变换，则有： 例： 求 的拉氏变换。 解：因为 故 同样，可得f(t)的各阶导数的拉氏变换为： 若初始条件为零，则： 例 (6) 积分定理 原函数积分的拉氏变换为： 例 已知 为实数，求 的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的积分性质得 注意： （拉氏变换定义） 例1： 求 不能用终值定理 而 可用终值定理 * * * * 系统的数学模型 Mathematical models of systems 概 述 为了从理论上对控制系统进行定性分析和定量计算，首先要建立系统的数学模型。数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。 建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。数学建模的一般方法为： 分析法： Analytical method 根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。 实验法： Experimental method 根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。 微分方程 传递函数 状态方程 数学模型 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1(t) 输出y1(t)，输入r2(t) 输出y2(t) 则输入 r1(t)+