[数学]历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题2.docVIP

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试 1990年4月15日 上午8：30—10：30 一、选择题 1、是（ ） （A），B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –) （B）A，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –) （C）A≠ 0时，倾斜角是arctan ( –) （D）≠ 0时，倾斜角是arctan ( –) 2、（ ） （A）（B）（C）（D） 3、f 是 ( R上的一一映射y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q，则（ ） （A） ( Q （B） （C） ( Q （D） 4、( x，y )的坐标x，y都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r，圆心为( a，b )的圆中，若a∈Q，b∈，则这个圆上的有理点的数目（ ） （A）（B）（C）（D） 5、– 1( P；（4）若x，y∈P，则x + y∈P。对于集合P，可以断定（ ） （A）∈P，2 ( P （B）( P，2∈P （C）∈P，2∈P （D）( P，2 ( P 二、填空题 6、方程arcsin ( sin x ) =×的实根个数是 。 、– 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。 、1 ( 3 , – 6 )，F2 ( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y，这个椭圆的离心率是 。 、] + [] + [] + … + [] +[ –] + [ –] + [ –] + … + [ –]的值是 。 二、– 2，2]；8、；9、– 1989 2。 简解：5、若x，y∈P，则x + y∈P ( 若x + y ( P，则x ( P或y ( P。显然1 ( P，若2 ∈P，则4，6，8，…，2 n ∈P，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1 ( P，则存在– 2 n ∈P，且2 m + 1 ∈P，则– 2 ∈P，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P，…，1 ∈P，矛盾，故2 ( P。 7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x 2 t 2 + 14，即x 2 ，又x 2 ≥ 9，只需≤ 9，t 2 ≤ 22即可；若– 3 x ≤ – 2或2 ≤ x 3，则2 x 2 t 2 – 4，即x 2 ，又4 ≤ x 2 9，只需≤ 4，t 2 ≤ 12即可；若– 2 x ≤ – 1或1 ≤ x 2，则t 2 12，只需t 2 ≤ 12即可；若– 1 x 1，则2 x 2 14 – t 2，即x 2 7 –，又x 2 1，只需7 –≥ 1，t 2 ≤ 12即可；∴ – 2≤ t ≤ 2。 8、进行坐标变换：，，tan θ = 3，1 ( 3 , – 6 ) (( –，0 )，F2 ( 6 , 3 ) ((，0 )，4 x = 3 y (p – 3 q –= 0，c =| F1 F2 | =，a =。 三、解答题}的前n项的和为S n，证明，对一切n∈N，都有S n 。 解：∵ arccot 2 n 2 = arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ∴ S n = arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n 2 = ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) + … + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) arccot 1 =。 11、用4块腰长为a，上、下底边长是a，2 a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围成一个六面体，求六面体的体积。 解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S 1 = a 2，S 2 = 4 a 2，高EF = CG =a，体积V =h ( S 1 + S 2 +) =×a × ( a 2 + 4 a 2 + 2 a 2 ) =a 3。 12、正方形PQRS的顶点Q，R，S分别在边长为2的正△ABC的边AB，BC，CA上滑动，求P点的轨迹方程。 第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试 1991年4月14日 上午8：30—10：30 一、选择题 1、映射f ：(（1，2，3），如果10 f ( a ) f