[工学]第八章 不可压缩流体的无粘流动.pptVIP

§8.1速度环量 、速度环量 求微元线段 与速度 在方向 上的分量的乘 积沿AB曲线的积分： 若A与B重合, 便成了封闭周线。速度在封闭周线切线上的分量沿该封闭周线K的线积分称为速度环量Γ： 速度环量的正向规定为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧。因此，逆时针方向的速度环量为正。 二、斯托克斯定理（Stokes Law） 封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和。这就是斯托克斯定理。表示为： 或： 1.微元封闭周线的斯托克斯定理 在oxy平面上取一微元矩形封闭周线，面积dA=dxdy，流体在A、B、C、D四点的速度如图。 沿封闭周线ABCDA的速度环量为： 沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围面积内的漩涡强度。 2．单连通域与多连通域 要保证流场中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的单值连续函数，对流场区域要有限制条件：区域内任一条封闭周线连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域，否则称多连通区域。 将外周线K1、内周线K2用 AB、A’B’连接，将原区域用 封闭周线ABK2B’A’K1A所包 围, 则该区域即为单连通区域。 3.有限单连通区域的斯托克斯定理 对任一微元矩形可求得速度环量 dΓi=dIi，总速度环量： 另一方面,总速度环量中沿各微 元矩形内周线的相邻切向速度线 积分方向相反，刚好抵消，仅剩 下沿外封闭周线K的切向速度线 积分，即： ∴总速度环量： 沿有限单连通域K封闭周线的速度环量等于通过该区域漩涡强度的总和—有限单连通区域斯托克斯定理。 4.多连通区域的斯托克定理 对右图中由多连通区域改成的单 连通区域，速度环量可写成： ∵ 由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则多连通区域的Stokes定理成为： Stokes定理说明： 速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有旋涡，就没有环量。反之，环量等于零，总漩涡强度等于零；环量不等于零，必然存在漩涡。 例1：试证明平行流的速度环量等于零。 流体以等速度u0沿水平方向流动， 求沿矩形封闭周线的速度环量： 同样可证明，沿其它周线的速度环量也等于零。 例2：求有间断面的平行流中的速度环量。 包有间断面的两股平行流中矩形封闭周线的速度环量： ∵有间断面的平行流中速 度环量不等于零。 实际流体中由于粘滞力 的作用，使分界面上下形 成速度梯度， 即 所以有漩涡存在。 三.汤姆生定理（Thomson’s Law） 汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量力的作用下，沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化。 1.证明：沿封闭周线的速度环量： 速度环量随时间的变化率： 从矢量四边形ABB′A′可以得到： 在三个坐标轴上的分量为： 代入（a ）式右边第一部分得： 理想流体欧拉运动微分方程： 代入（a）式右边第二项得： ∴(a)式成为 2.讨论 理想流体中的速度环量和漩涡都不能自行产生、自行消灭。流场中原来有涡的则永远有涡；原来没有涡的就永远没有。 四、海姆霍兹定理（Helmholez’s Law） 海姆霍兹的三个漩涡定理是研究理想流体有旋流动的基本定理，它说明了漩涡的基本性质（通过环量证明Stokes定理）。 1．海姆霍兹第一定理： 在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。 证明： 即沿包围涡管任一封闭周 线的速度环量都相等。也就 是在涡管各截面上的漩涡强 度都相等。即 可见，涡管在流体中既不能 开始，也不能终止，只能是 自成封闭的管圈，或在边界 上开始、终止，如图。 2. 海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理） 正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。 证明： 在涡管表面上取封闭周线K 沿周线K的速度环量等于零 速度环量不随时间变化，沿周线K的速度环 量永远是零。 ∴涡管永远保持为由相同质点组成的涡管。 3．海姆霍兹第三定理： 在有势质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化，保持定值。 证明