[工学]第3章 Matlab数值运算_SFK.pptVIP

3、Runge-Kutta法 （1）二阶Runge-Kutta公式 （2）三阶Runge-Kutta公式 Matlab * 第3章 Matlab 数值运算 §4 线性方程组的数值解 线性方程组 电路网络 交通流量 W.leontief 飞行器 求解方法：克拉默法则 局限性: （1）Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组； （2）Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。 （3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。 一种是低阶稠密矩阵(例如，阶数大约为≤150)，另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多)。 （1）直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 关于线性方程组的数值解法一般有两类： （2）迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法 1、直接法 （1）矩阵相除法 其中A为 的矩阵 ① 且A可逆，有唯一解 ② 超定方程，给出方程的最小二乘解 ③ 欠定方程，给出通解 例3.31：求解线性方程组 Ex3_31.M 解： 例3.33：求解线性方程组 Ex3_33.M （2）消去法（行阶梯法） (Reduced row echelon form) Ex3_rref.M 2、迭代法 算法思想：用某种极限过程去逐步逼近线性方程的精确解。 （1）Jacobi迭代法 （2）Gauss-Seidel迭代法 （3）SOR(Successive Over-Relaxation )迭代法 （1）Jacobi迭代法 … … Jacobi迭代公式： 输入A，b，imax, x0，tol for k=1:imax for i=1:n for j=1:n 进行迭代计算sm 设置中间变量sm 退出for j 退出 for i 退出 for k 计算xi 判断是否在精度范围内 算法设计： for k=1:imax for i=1:n sm=b(i); for j=1:n if j~=i sm=sm-A(i,j)*x0(j); end end x(i)=sm/A(i,i); end tx=[tx;x]; if norm(x-x0)tol return else x0=x; end Ex3_jacobi.M 例3.35：求解线性方程组 Ex3_35.M 选取 迭代10次 ，精度为10-6 Gauss-Seidel迭代法 function tx=gseidel(A,b,imax,x0,tol) del=10^-10; tx=[x0];n=length(x0); for i=1:n dg=A(i,i); if abs(dg)del disp(diagonal element is too small); return end end for k=1:imax x=x0; for i=1:n sm=b(i); for j=1:n if j~=i sm=sm-A(i,j)*x (j); end end x(i)=sm/A(i,i); end tx=[tx;x]; if norm(x-x0)tol return else x0=x; end end 例18：求解线性方程组 A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]; b=[6 25 -11 15]; tol=1.0*10^-6; imax=10; x0=zeros(1,4); tx=gseidel(A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprintf(%4d %f %f %f %f\n,j,tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3),tx(j,4)) end SOR迭代法 function tx=gseidel(A,b,imax,x0,tol)