[工学]多自由度系统振动第11讲_11月05日.pptVIP

第11讲 多自由度系统振动 4、模态正交性，频率响应函数概念 教学内容 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 固有频率 模态 模态的正交性 主质量和主刚度 模态叠加法 模态截断法 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 正定系统： 第 i 阶主振动 ： 系统的固有振动： n个主振动的叠加 模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 正定系统： 特征值问题： 特征矩阵 记为 B 根据逆矩阵定义 ： 或 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 例：求固有频率和主振型 解： 动力学方程： 令主振动： 或直接用 得： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 特征方程： 一个独立 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 画图：以横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 第一阶主振动，两个质量在静平衡位置的同侧，做着同向运动。而做第二阶主振动时，两质量在平衡位置的异侧，做着异向运动 有一点始终不振动，称为节点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 无节点 一个节点 例：求固有频率和主振型 解： 动力学方程： 令主振动： 或直接用 得： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 令特征矩阵的行列式＝0 可用特征矩阵的伴随矩阵求阵型 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态图形： 第一阶模态： 第二阶模态： 第三阶模态： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 无节点 一个节点 两个节点 单自由度系统 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 两自由度系统 第一阶模态 第二阶模态 一个节点 无节点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 三自由度系统 无节点 一个节点 两个节点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 四自由度系统 一个节点 两个节点 三个节点 无节点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态的正交性，主质量和主刚度 两式相减： 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 均满足： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 当 i＝j 时，表达式恒成立 令： 第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 当 i＝j 时 利用 Kronecker 符号，可综合写为： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 第 i 阶固有频率： 主模态： 多自由度系统： 另一种模态：正则模态 定义：使全部主质量皆为1的主模态 正则模态和主模态之间的关系： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 正则模态的正交性条件： 主模态的正交性条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 主模态 模态矩阵 主质量矩阵 主刚度矩阵 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 推导： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 正则模态 正则模态矩阵 单位矩阵 谱矩阵 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 例：三自由度系统 模态矩阵： 主质量矩阵： 主刚度矩阵： 谱矩阵： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态矩阵： 主质量矩阵： 主刚度矩阵： 谱矩阵： 正则模态矩阵： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基 系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 即系统的振动为 n 阶主振动的叠加 模态叠加法 物理坐标 主模态坐标 模态矩阵 坐标关系： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 另一种模态坐标：正则模态坐标 系统响应： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 小结： 可采用两类模态坐标进行描述 主模态坐标 正则模态坐标 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 求解无阻尼系统对初始条件的响应 可分别采用两类模态坐标进行求解 首先采用主模态坐标 自由振动方程： 模态坐标初始条件： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 自由振动方程： 坐标变换： 展开模态坐标动力学方程： 多自由度系统振