4_有限元插值函数形函数和单元构造.ppt

1 有限元法原理及应用Finite Element Method and Its Applications 第5节 各种单元简介－[矩形双线性单元] Institute of Mechanical Engineering and Automation 二、应变 三、应力 平面应力问题 四、单元刚度矩阵 第5节 各种单元简介－[矩形双线性单元] Institute of Mechanical Engineering and Automation IMEA Hsiang Jiawei, Ph D School of Mechantronic Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin, 541004, P.R.C. TelE-mail: hsiangjiawei@guet.edu.cn 桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动化所 4 有限元插值函数/形函数和单元构造 第3节 Hermite插值 第2节 Lagrange插值 Institute of Mechanical Engineering and Automation 第1节 概述 第4节 单元收敛条件 第6节 小结 第5节 各种单元简介 第1节 概 述 有限元理论核心技术在于单元构造，即推导单元求解方程/单元列式。上一章以两种区间B样条小波单元为例，详细推导了其求解方程。但是，并没有涉及到有限元插值函数/形函数的构造。这一过程目的在于将未知场函数表示为插值函数的形式，然后利用节点条件，将插值函数插值系数表示成未知场函数的节点值，得到有限元空间中有限元插值函数/形函数。如果将有限元插值函数代入具体问题的能量泛函/势能泛函，或者微分方程中，由最小位能/势能原理或其他变分原理，最终得到有限元求解方程，该方程中未知量就是未知场函数的节点值。 插值函数构造方法分为Lagrange型和Hermite型，分别对应C0和C1型单元。 Lagrange型单元构造和实现相对简单，而Hermite型单元构造对某些问题十分复杂，甚至几乎无法实现。因此，对大型工程应用软件中3D单元常采用Lagrange型。 [概述] Institute of Mechanical Engineering and Automation 第2节 Lagrange型插值 [一维Lagrange插值] Institute of Mechanical Engineering and Automation 图1为一轴向受拉的直杆，截面积Ａ和轴向分布载荷f可以是x的函数。因而轴向位移u(x) 可能是x的复杂函数。将区间[0, L]分成若干（这里是三个）子区间（单元），编号为①～ ③。取端点和分点为结点，编号为1～4。坐标为x1～x4。 (1)基函数 定义基函数φ1～φ4。满足以下条件： 1 当j=i 0 当j≠i (i) (ii) 设基函数在单元内是x的一次函数。 第2节 Lagrange型插值 [一维Lagrange插值] Institute of Mechanical Engineering and Automation φ1 x 1 0 φ3 x 1 0 φ2 x 1 0 0 φ4 x 1 u x 0 u2 u3 u4 u1 0 u’ x 图　1 x ③ 3 ② 2 ① 1 4 (2)试探函数/未知场函数的形式取为基函数的线性组合，即： 根据φi的定义显然有：u(x)是x的分段线性函数，且u(xi)=ui系数ui恰好代表结点i的位移值，相互之间是独立的。 第2节 Lagrange型插值 [一维Lagrange插值] Institute of Mechanical Engineering and Automation 这样分段（片）定义的试探函数的一个显著优点是：强制边界条件很容易得到满足。例如u(0)=0的条件只要简单地令结点１的位移u1=0即可以实现。而且允许我们在任何方便的时候（例如组装总体刚度矩阵时）引入这些边界条件。由于强制边界条件问题已经有了妥善的解决办法，我们的注意力将转向协调条件和可微性问题。 (3)协调性和可微性 （i） φi(x)和u(x)在单元内连续，在结点处也连续； （ii）φi’(x)和u’(x)在单元内连续，在结点处可能不连续。但只有有限的跳跃量。在区间[0, L]上平方可积。φi(x)和u(x)属于同一类型的函数。对于轴向受拉杆（二阶问题），u(x)满足最小势能原理对协调性和可微性的要求。 第2节 Lagrange型插值 [一维Lagrange插值] Institute of Mechanical Eng