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水泥价格、广告费与利润问题
推销商品的重要手段之一是做广告，而做广告要出钱，利弊得失如何估计，需要利用有关数学模型作定量的讨论。
某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往统计资料，零售价增高，则销量减少，具体数据见表三；如果做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子k表示，k与广告费的关系列于表四。现在，已知水泥的进价是每吨250元。问如何确定该批水泥的出售价格和花多少广告费，可使公司获利最大？
表1：水泥预期销售量与售价的关系
单价（元/吨） 250 260 270 280 290 300 310 320 售量（万吨） 200 190 176 150 139 125 110 100 表2：售量提高因子k与广告费的关系
广告费（万元） 0 60 120 180 240 300 360 420 提高因子k 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80
将表1（水泥预期销售量与价格的关系）中数据绘图如下
图1
可以看出销量与单价近似呈现线性关系，因此可设
用最小二乘法，根据表1的数据可得正规方程组
解此方程组，得到系数。即销量与单价的近似关系为：
，将此结果与原数据点画在同一幅图形中比较如下
图2：
将表2（销售量提高因子与广告费的关系）中数据画图如下：
图3：
可以看出提高因子与广告费近似成二次关系，因此可设：
用最小二乘法，根据表2中数据，可得正规方程组
解此方程组得：。将拟合多项式图形与原数据画在同一幅图形中观察拟合效果：
图4：
设实际销量为S，则。于是利润L可以表示为：
要求出利润最大值，只需令：
解得：
进一步求出利润L的二阶偏导数得：
当时，显然有，根据多元函数极值理论可知，在处，利润最大，最大利润为。
从而，可以预计，将单价定为316.93元/t，广告费花费282.21万元，实际销售量可望达到2105800吨，利润可望达到13209.6（万元）。
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