定稿概率论与数理统计公式大全.doc

第1章 随机事件及其概率 （6）事件的关系与运算 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， （7）概率的公理化定义 设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件，，…有 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件的概率。 （10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P()=1- P(B) （12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) （13）乘法公式 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有 …………。 （14）独立性 ①两个事件的独立性 设事件、满足，则称事件、是相互独立的。 若事件、相互独立，且，则有 若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 （15）全概公式 设事件满足 1°两两互不相容，， 2°， 则有 。 （16）贝叶斯公式 设事件，，…，及满足 1° ，，…，两两互不相容，0，1，2，…，， 2° ，， 则 ，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 ，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 （17）伯努利概型 我们作了次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率， ，。 第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。 显然分布律应满足下列条件： （1），， （2）。 （2）连续型随机变量的分布密度 设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有 ， 则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° 。 2° 。 （3）离散与连续型随机变量的关系 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 （4）分布函数 设为随机变量，是任意实数，则函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° ； 2° 是单调不减的函数，即时，有 ； 3° ， ； 4° ，即是右连续的； 5° 。 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量， 。 （5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。 ， 其中， 则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。 当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量的分布律为 ，，， 则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即 ? a≤x a≤x≤b 则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 a≤x≤b