22综合除法、大除法.题库教师版.doc

板块一 综合除法、多项式除法 记号 关于的代数式常用记号或等表示，例如，用表示代数式，则可记为 ． 这时就表示时，代数式的值，即，同样地，有；等等． 用可以代表关于的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如，，，等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： （1） 其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且余式的次数小于除式的次数． 如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为，即有 （2） 当一个多项式除以一个形如的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如 求除以所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 所以，商式为，余数为． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 商式为，余数为． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“”补足． ⑵把除式的常数项的相反数写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． ⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再把这个数乘以，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数． 求除以所得的商式和余数． 用综合除法计算如下： 所以，商式为，余数为． 点评：本题介绍的是不含缺项且除式系数为1的综合除法． 求多项式除以所得的商式和余数． 先将按降幂排列， 用综合除法，计算如下： 所以，商式为，余数为． 点评：本题介绍的是含有缺项且除式的系数为1的综合除法， 注意应先将缺项，应该用零补足． 求多项式除以的商式和余数． 商式，余数． 用余数定理可知余数为． 用综合除法计算． ，先用除以． 所以，我们有 因此，所求的商式为，余数为． 点评：如果除式是一次式，但前的系数不为，即除式为，（，），则可先用除以，这时就可用综合除法了，若通过计算得到，则．因此所以的商式是，余数仍为． 用综合除法计算：． 先将原式变形，原式，用综合除法求出的商式和余式，然后再求原式的商式和余式．综合除法计算如下： 再把商式除以得，商式，余数． 点评：本例介绍的是除式的系数不为的综合除法，其解法的理论依据是余数定理，令与的值为，均有，由余数定理可知，余数均为．由余数定理可知，，， 故的商式为的，但它们的余数相同，这就是该解法的来历． 计算：. 看看此题，我们发现除式的次数不是，我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正，余数是一定的，那么我们可以先求的商式，然后再求的商式，不管可行不可行，先试试再说！ 综合除法求的同式如下： 商式为，余数为1 再求的商式如下： 从而可知，的商式为，余数为． 此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为1的情况下，若除式的最高次不为，则多项式除法更快，更准确！ 如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！ 下面我们看看多项式除法解本题，如下： 的商式为，余数为． 点评：本题介绍的是除式为非次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡． 计算：． 显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下： 故商式为，余数为． 点评：本题中，除式和被除式均有缺项． 计算：． 故商式为，余数为． 点评：本题在前面例题变式的基础上更进一步，介绍的是二元的多项式除法，请大家体会其解题步骤． 板块二 余数定理和因式定理 余数定理和因式定理 由式，当时，有， 因此，我们有以下重要定理： 余数定理：多项式除以所得的余数等于，有些时候余数定理作余式定理． 如求除以的余数． 解析：由于，．所以，所求的余数为． 这与我们前面用综合除法求得的余数相同． 再由（2）式知，如果能被整除，那么必有；反之，如果，那么能被整除，由此，我们有： 因式定理：若多项式能被整除，亦即有一个因式，则；反之，如果，那么必为多项式的一个因式． 求除以所得的余数． 根据余数定理：多项式除以所得的余数等于，也就是说令除式为零求出的，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数． 从而可知，原式除以所得的余数为：． 设，求． 先用综合除法，计算． 求得的余数4，根据余数定理，． 点评：本题也可用直接代入来计算，但计算时比较麻烦，改用综合除法，利用余数定理来计算，则相对较简单． 多项式除以，所得的余数分别为和，