谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题.doc

谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。 研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。则要用有限长的N个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。 经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。采用经典的傅里叶变换及窗口截断。对长序列有良好估计。 现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR模型法，预测滤波器法，ARMA模型等。对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。应用广泛，发展迅速。 1、谱密度意义 能谱密度 设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即： 则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出： 根据Parseval能量定理，有： 由上式可见，信号能量E等于信号频谱模值平方在整个频域上的积分，故称为信号的能谱密度。 当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数： Wiener-Kinchine定理将自相关函数与功率谱密度联系起来： 离散形式－为平稳、零均值序列；其自相关(协方差)函数为： 若有： 则功率谱密度为： 是以0对称，周期为2(。反变换为： 其自相关函数的估计由时间平均函数给出： 功率谱的估计为： 若定义矩形窗 即加窗截断为有限长序列，则有： 功率谱的估计可写成： 将m=n+k代入上式，得： 式中为数据序列 的离散傅氏变换DFT。 (1-13)式－间接法、相关图法 (1-16)式－直接法、周期图法 §2、相关图法(Correlogram Method) 根据Wiener-Kinchine定理，先估计出有限长信号x(n) 的自相关函数，即： 易见是偶函数，其长度为2N-1.实际计算时，由于x(n)只有N个观测值，则对于每个延迟，可用的数据只有 N-1-个，故可将上式改写成： 第二步，求的DFT,得到x(n)的功率谱估计： 由于功率谱是经自相关函数间接求出的，故称间接法。 平稳随机过程的自相关函数应为： 显见，实际上自相关估计是仅用有限个数据得到的。 现在，来讨论相关图法的性能，即接近的程度。 (估计偏差： 所以估计的偏为： 故可得出结论：m(0，为有偏估计。 当N((，m＝有限，偏(0，故为渐进无偏估计。 (估计方差：推导过程略。(l=n-k) 显然，当N((，；又因为： 故为的渐进无偏一致估计。显然，N越大，估计精度越高。当N,m均较大时，还可利用FFT进行计算。由自相关可通过式(1-20)计算功率谱。M越大，分辨率越高，但自相关的偏差及方差也相应增大，通常取M=N/10—N/5，较好。 §3、周期图法(Periodogram Method) 定义：长度为N的实平稳随机信号序列 的周期图为： 式中 即直接由序列的DFT计算出来的。由于x(n)的DFT有周期性，所以也有周期性。周期图法谱估计的性能－估计的偏： 所以可见，不是自相关的DFT，故为有偏估计。 相当于无限长序列加长度为N的矩形窗： 式中 称为Feijer’s Kernel，其主瓣宽度为2/N. 可以证明，当N((时， (估计方差: 式中：假定为零均值、正态分布白噪声序列。可见当N((时，方差并不等于0。所以，周期图法不是功率谱的一致估计。 这主要是由于时域序列加窗后，频域发生泄漏现象，所以人们作了许多改进，加各种形式的窗。另外还有分段求估计再求平均的平均周期图法，平滑周期图法等。比较好的窗有Blackman-Tukey 窗： 时域窗：而谱窗： 式中： 功率谱的Blackman-Tukey估值为： 式中： 但是，抑制旁瓣都是以损失谱的分辨度为代价，尤其是短数据序列的情况更为严重。故人们开始研究非线性、现代谱估计。 谱估计的模型参量法是现代谱估计应用最广泛的一种方法。 先利用一些先验知识或假定，建立一个模型或近似的模型来表示所给定的抽样数据过程，既是将信号看成是由白噪声通过一模型所产生的数据x(n)；这样就回避了N个数据样本以外均为0的假设。－利用数据或自相关来估计模型的参量－再将所求的变量代入该模型相应的理论功率谱表达式，从而得到谱估计。 §4、自回归AR模型(AutoRegressive method) 选择适当模型-用观测数据估计模型参量-由模型求出功率谱 若平稳信号具有有理功率谱,则 可用白噪声驱动的差分方程模型来表示： 此式称为p阶自回归模型，AR模型。 式中w(n)为白噪声（零均值，方差未知的预测误差序列） 式中p表示AR模型的阶次。对上述差分方程取Z变换：