乐学学案—A4版翟碧选 7.30.doc

指数函数与对数函数 一、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根． ②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． ③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 二、指数函数及其性质 （4）指数函数 函数 名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 三、对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：． （2）几个重要的对数恒等式：，，． （3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）． （4）对数的运算性质 如果，那么①加法：②减法： ③数乘：④⑤ ⑥换底公式： 四、对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的 影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式中反解出； ③将改写成，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数与反函数的图象关于直线对称． ②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域． ③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上． ④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数． 五、典例剖析： 【例1】求下列各式的值： （1）（）； （2）. 【例2】已知，求的值. 【例3】化简：（1）； （2）（a＞0，b＞0）； （3）. 【例4】化简与求值： （1）； （2）. 【例5】求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）. 【例6】求下列函数的值域： （1）； （2） 【例7】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）. A． B． C． D． 【例8】已知函数. （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性. 【例9】按从小到大的顺序排列下列各数：，，，. 【例10】已知. （1）讨论的奇偶性； （2）讨论的单调性. 【例11】求下列函数的单调区间：（1）； （2）. 【例12】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）ln100=4.606. 【例13】计算下列各式的值：（1）； （2）； （3）. 【例14】求证：（1）； （2）. 【例15】试推导出换底公式： （，且；，且；）. 【例16】化简与求值：（1）；（2）. 【例17】若，则= . 【例18】 （1）方程的解x=________； （2）设是方程的两个根，则的值是 . 【例19】（1）化简：； （2）设，求实数m的值. 【例20】比较大小：（1），，； （2），，. 【例21】求下列函数的定义域：（1）；（2）. 【例22】已知函数的区间上总有，求实数a的取值范围. 【例23】求不等式中x的取值范围. 【例24】讨论函数的单调性. 【例25】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 【例26】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？ 【例27】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：