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[管理学]最短路问题
第三、最短路的迭代计算公式 定理 对于非负权有向网络G=(V,A,W)中, vs到所有其它顶点的最长度按大小排列为 d0≤d1≤d2……≤dn ,假设 P1=P(vs,v1), P2=P(vs,v2)… Pk=P(vs,vk)已求出。并记 SK={vs,v1…vk} , ,则第k+1最短路 的路长dk+1 可 以按式求得: DijksTra算法的步骤: 第一步(初始化) 令k=0, S(0) ={vs}(S是永久标号点的集合), T(0)={vs,v1…vn}(T是临时标号点的集合)d(0)(vs) =0, d(0) (vi) =∞ (d(vi)是vi点赋予的路长的初始标号, i=1,2,…n )。 λ(vi) = vs (λ(vi) )是λ(vi)点被赋予的vs→vi路径的vi先驱 点号,resent= vs ( resent用于表示必威体育精装版获得永久标号 的顶点)。 第二步 k=k+1 于对所有临时标号 ,计算 如果 ,则 第三步 若vk 满足 则resent= vk, , 。 若k=n,则结束,否则转第二步。 例 用DijksTra算法求下图的最短路 v1 v5 v4 v3 vs 2 15 2 7 3 4 6 35 5 v2 16 9 21 最短路的算法步骤如下: 第一轮 k=0 , , , ,( ) , ,( ) resent= vs 第二轮 k=1 标号如图 第三轮 k=2 标号如图 第四轮 k=3 标号如图 第五轮 k=4 标号如图 第六轮 k=5 标号如图 最后v4获得永久标号 算法结束。 8.3.3 最短路算法之二——逐次逼近算法 逐次逼近算法的基本步骤与思路如下: 第一步: 赋初值 k=1( k为迭代步骤) 的含义为从v1点到vj点只含有一个弧的最短路的路长。 为从v1点到vj点只含有一个弧的最短路的终点vj的前一个顶点号。 第二步:递推 k=k+1 递推关系如式所示: (wij 为弧 的权) 同时,路径标号 如式所示。 ( ,即vl 是 中vj 的前一个顶点号) 第三步:判断 若对于 ,有 ,则算法结束。否则,进一步判断k是否为n-1,若是则说明网络存在负回路,否则转步骤二。 例题 v1 v5 v4 v3 vs 2 15 2 7 3 4 6 35 5 v2 16 9 21 逐次逼近法的例题的算法过程(表中空格为+∞) j i wij d1j (1) d1j (2) d1j (3) d1j (4) d1j (5) v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 4 5 0 0 0 0 0 0 5 4 2 2 2 2 -3 0 7 5 5 5 5 5 0 2 6 9 7 7 7 0 12 12 9 9 0 15 13 13 λ1j (1) v1 v1 v1 v1 v1 v1 λ1j (1) v1 3 v1 v2 v3 v1 λ1j (1) v1 v3 v1 v2 v3 4 λ1j (1) v1 v3 v1 v2 v4 v4 λ1j (1) v1 3 v1 v2 v4 v4 为了加快收敛速度,可以利用如下的递推关系: 四、Floyd算法 网络G=(V,A,W),令D=(
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