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三角形內的比例線段(四) 劉俊傑 前言: 它幾何性質。 這使我們不禁想到是否能求得 別的比例值, 能使內外三角形的邊平行, 進而 本文與之前的兩篇文章, 在結構上將有 找到另一新的天地呢? 此疑問的答案, 就在 著明顯的不同, 前面的兩篇文章 [2][3], 都是 以下的這個證明裡。 一 口氣導引出環環相扣的二十幾道性質, 且 都是在討論比例值為 1:2 的比例三角形。 本 性質 38: 已知: 篇文章則是將要針對兩個重要的議題, 作專 1. △DEF 的頂點在 △ABC 的中線上。 題的探討, 這兩個專題都相當地有趣, 且具 2. △DEF 和 △ABC 共重心 O。 有發展性, 在整個”比例三角形”的理論中, 獨 求證: DF//BC (如圖 1) 樹一格。 我簡稱這兩個議題為”平行時的比例 值”及”三合一定理”。 一. 平行時的比例值 相信在看過前兩篇文章的讀者, 都將會 對性質 1和性質 2 留下深刻的印象 [2], 因為 它們被 引用來推理其它性質次數最多, 也就 是說許多的性質都必須以這兩個性質作為基 礎。 而事實上性質 2又是直接地由性質 1所推 出, 可見得性質 1可以說是整個理論系統的起 源磐石。 性質 1告訴我們, 當比例值為 1:2時, 第 三層的小三角形的邊將和最外層三角形的邊 平行。 從這個平行性質, 就可以衍生出許多其 圖 1 54 三角形內的比例線段 (四) 55 證 明: 若 M 落在 AC 線上 ′ ′ HG HM 1 1. 假設 DF //BC\ , 過 M 點作 D F // ⇒ = = 。 ′ ′ GF MF X BC。 AI 是中線 ⇒ D M = MF 。 X −1 = 1 ⇒ X = 2 。 2. O 是 △DEF 之重心 ⇒ DM = MF 。 X X ′ ′ 引用 Pappus 定理 , 知 △IMK 和 得到DD FF 是平行四邊形, 因此 ′ ′ △ABY 共重心。 DD //FF 。 ′ ′ 再 由性質 38 ⇒ IK//BY , 故 X = 2 DD 在 CH 上, FF 在 BJ 上。 ′ ′ 時, 轉第 2次, 也就是第 3層, 會出現平行 CH//BJ\ ⇒ DD //FF\ 。 的現象。 故矛盾, 得知假設錯誤, 所以