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魏徵高中數學講義 .tw 1. 已知 f (x) = x 4 − 22 x 2 − 72x + 13 = 0 的一根為 3 − 2 2 則試求出 f (x) = 0 的所有根 提示：f (x) 為有理係數多項式，若 a + b c 為方程式 f (x) = 0 的一根， ( a , b , c 均為有理數，b ≠ 0 ， c 為無理數 ) ， 則 a - b c 也是 f (x) = 0 的根。 解： 1. Q 3 - 2 2 為 f (x) = 0 的一根，則 3 + 2 2 也是 f (x) = 0 的一根 則 [x - (3 - 2 2 )][x - (3 + 2 2 )] = x 2 -6 x + 1 為 f (x) 的二次因式 2. 利用長除法可得 x 4 -22 x 2 -72x+13=( x 2 -6x+1)( x 2 +6x+13) x 2 +6x+13=0⇒x= -3 ± 2i ∴f (x) = 0 的所有根為 x = 3 ± 2i ，x=-3 ± 2i 20 填空詳解及勘誤內容請上網 .tw 魏徵高中數學講義 .tw 2. 方程式 x 4 −2 x 2 − ax + b = 0 中， a , b 均為有理數，若此方程式的 一複數根為 − 1 + 3 i 則試求 a , b 及所有根。 解： 1. 令 f (x) = x 4 −2 x 2 − ax + b ，− 1 + 3 i 為 f (x) = 0 的複數根 則 − 1 + 3 i 也是 f (x) = 0 的另一複數根 ∴ [x − (− 1+ 3 i)][x − (− 1− 3 i)] = x 2 + 2x + 4 為 f (x) 的二次因式 1 − 2 − 2 2. 1 + 2 + 4 ) 1 + 0 − 2 + a + b 1 + 2 + 4 − 2 − 6 + a − 2 − 4 − 8 − 2 (a + 8) + b − 2 − 4 − 8 (a + 12) (b + 8) Q x 2 + 2x + 4 為 f (x) 的因式  a + 12 = 0  a = − 12 ∴ 