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第一章 函數與極限 數學是科學研究的工具，藉由數量的計算分析來探討應用上 的問題。科學或應用問題所面對的數量，通常有著明確的因果關 係，這因果關係就是數學裏的 「函數」，而微積分正是函數研究中， 最基礎且強而有力的一門課。她可對函數欲研究的問題( )作細部的 分析微分( ) ，也可作廣域性的掌握積分( ) ，故中文譯為微積分。 微積分英名稱為「 Calculus 」，是「Calculate 」計算( 的變形字，) 因此微積分英文直譯應為「計算之學」 。她所計算(處理的不僅是) 特殊的案例，更針對整類問題作全面性的探討，因此微積分處理 的是「函數」 ，而不是特定數字的運算。 為了對整個問題作全盤性的分析，我們需要「函數」；為了作 細部的分析，我們需要「極限」的概念。因此本書第一章為「函 數與極限」 ，這是微積分課程中最基礎的部份。 函數(Functions) 1-1 ．集合 ．函數 ．函數的表現方式 ．基本函數圖形 ．常用函數 ．函數的特徵 ．新函數的產生 ．函數圖形的變化 集合(Set) 定義 1 ：一組明確事物所構成的群體，稱為「集合」。集合內的 事物稱為集合之「元素」 (Element) 。 集合的符號，以大寫英文字母A , B, S, T…等表示，元素則以 小寫 a, b, c, x , y , t, a , a …等表示。元素與集合間的關係以∈屬於( ) 1 2 與∉(不屬於)表示。 例 1: a ∈S ，0 ∉X 表 S內有元素 a ，而X內沒有元素 0 。 集合的表示法 集合的表示法有四種：列舉法、結構法、專有名詞及區間。 1.列舉法： { } 例 2: A 0,1,3, −5 ，A內含四個元素。 { } B 1,3, 5, 7,9, L為所有正奇數形成的集合。 1-1 2.結構法： 例 3: A {n | n 2k ,k 為整數} ，即所有偶數所形成的集合。 B {(x , y ) |x ,y 為正實數} ，即坐標平面上第一象限。 R[x ] {f (x) |f (x)為實係數多項式} ，為實係數多項式所構 成的集合。 專有名詞： 3. 有些集合有專有的名詞，如： φ 表空集合(Empty set) ，不含任何元素的集合。 N K L 表「自然數」(Nature numbers) ，即正整數。 {1