漫谈几何学的形象思维和综合推理PDF.PDFVIP

漫谈几何学的形象思维与 综合推理 沈一兵 浙江大学 一、引言 数学研究自然界的“形”与“数” 。 几何学是反映自然界空间形式的科学。它 的研究对象较直观，所以更能激发开创性 的思维。 对于“几何” （Geometry）这个词的含义， 不同时期和不同数学家都有不同的看法。 古典几何主要意味着三维空间中对“点、线、 面、体” 的形象了解和思维、推理。现代几 何考虑高维空间，其中比较高等的问题基 本上都排除了，留下的只能是形象思维与 综合推理。 中学数学里的几何主要是古典意义下 的几何，即二维欧氏平面E 2 上的几何 图形（如三角形）和三维欧氏空间E 3 中的几何图形（如四面体、球）。 二、平面上的几何 1.三角形→多边形→圆 两边之和大于第三边，两三角形全 等的条件。 1 A s s a(−s b)(−s c)(− ) s a b( +c + ) 三角形面积 ， 2 A B C + + π，外角和等于2π 。 正多边形（五边形） L=5a, 外角和等于 ，内角和 2π π π 等于(n-2) = 3 。 1 2 A + a 面积 25 10 5 。 4 圆（半径为r） 2 L A2 4π L= 2πr ，A= πr 。 （ ） 2.“内部”与“外部” 简单闭曲线（折线）：没有自交（自身相 交）点的平面闭曲线（折线）。 约当（Jordan ）定理：平面上的简单闭曲 线C把平面分成两部分，都以C为边界，其 中一部分是有界的，称为内部；另一部分 是无限的，称为外部。 3.等周不等式 定理. 设C是长度为L的平面简单闭曲线， C所围的有限区域的面积为A，则有 L 2 ≥ 4 π A ， 其中等号成立的充要条件是C为圆周。 概证： 设C 的参数方程为 x f ⎧s ( ), ⎨ 0s ≤ L ≤ y g ⎩s ( ). f 2 g ′2 + ′ 1 （弧长参数） 对应的圆周 C 的参数方程为 x f ⎧