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第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法 第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法 • 一、基本定义 • 一、基本定义 • 二、初等矩阵的概念 • 二、初等矩阵的概念 • 三、基本结论 • 三、基本结论 • 四、小结 • 四、小结 一、基本定义 一、基本定义 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换(ERT). ERT r ↔ r (2)数乘某行：r ×k (1)互换两行： i i j r +kr (3)倍加某行： i j 同理,把r换成c可定义矩阵的初等列变换(ECT). ECT) 初等列与行变换统称为矩阵的初等变换(ET). 定义2 ET 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同. 1 r ↔r r r ↔ ; r ×k 逆变换r ×( ); i j 逆变换 i i j i k r +kr 逆变换 r −kr . i j i j 定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵 B , 就称矩阵A 与B等价, 记作A ≅B. 等价关系的性质： (1)反身性： A ≅A; A B 如果B, A ≅ ;则 ≅ (2)对称性： (3)传递性： A B B , C A, C . 如果 ≅ ≅ 则 ≅ 二、初等矩阵的概念 定义4 由n阶单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵 为n阶初等矩阵. ET 即E ⎯⎯⎯→P ,P 就称为初等矩阵. 一次 相应的,三种初等变换对应着三种初等方阵. ⎛1 ⎞ 1.对调 ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎟(r ) 1 L 0 ⎜ ⎟ i ⎜ M M ⎟ 记作P i( ,j ) ⎜ 1 L