对等差数列前n项和公式的再认识.docVIP

对等差数列前n项和公式的再认识 等差数列具有如下性质： 在等差数列{}中 若m+n = p+q，则 若m+n = 2k，则 证明： （1） = 2+ (n+m-2）d = 2+ (p+q-2）d m + n = p + q （2） m + n = 2k = 2+ (n+m-2）d = 2+ (2k-2）d = 2[+ (k-1)d] =2 在等差数列前n项和公式中，对于而言，当p+q=1+n，有= , 前n项和公式可化为①；当1+ n =2p（显然n为奇数），有= 2，前n项和公式可化为，即，也就是，当n为奇数时，②； 由得，也就是：,即： ③。 在等差数列的运算过程中，合理应用上述①、②、③会收到意想不到的效果。 下面我们看以下几个例题来加以体会。 例1：设为等差数列{}的前n项和，，（n5）, =336,求n. 分析：传统解法是应用通项公式和前n项和公式转化为以下方程组：通过解方程组来求n,非常繁琐，若应用上述①，则变得非常简捷。 解：{}为等差数列 又5+（n-4）= 1+ n 336 = n = 21 例2：等差数列{}的前n项和=2+n,求其通项公式。 解：{}为等差数列，由③得 = = 4n-1 例3：若两个等差数列{} 、{}的前n项和分别为、，且满足，求。 解： {} 、{} 为等差数列 ， 由③得 例4：若两个等差数列{} 、{}的前n项和分别为、，若 ，求 解： {} 、{}为等差数列，所以由②得 = = 7 通过以上几个例题的解答，我们可以发现通过①、②、③可以很好的建立等差数列的前n项和与通项之间关系，合理应用①、②、③可以有效地实现等差数列的前n项和与通项之间的转换，使题目有效快捷地得以解答。 4