高数第六章第三目.pptVIP

函数与极限 练习1. 二、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例1. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例2. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 例3. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例4. 计算由曲面 例5. 求曲线 三、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例6. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例7. 求连续曲线段 例8. 计算摆线 例9. 求阿基米德螺线 内容小结 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 3. 第三节 一、 变力沿直线所作的功 例1. 例2. 二、液体的侧压力 例3. 说明: 三、 引力问题 例4. 说明: 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ? a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板 设液体密度为 ? 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 小窄条上各点的压强 ? 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故铅直分力元素为 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的铅直分力为 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 则有 * * CH2极限与连续 第 六 章 定积分的应用 分析曲线特点 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 2. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与 所围成 得 所围区域的面积为 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 注意上下限 ! 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明