数学联赛一九九七年试题(含答案).docVIP

一 九 九 七 年 第 一 试 一、选择题 1．（C） （1）、（2）、（4）是错误的命题，故选（C）. 2．（C） 所以选（C）. 3．（A） ∵ ≤27. ∴选（A） 4．（D） 因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长，所以至少要有7个点. 5．（A） 延长BA，CD交于点H， ∵ ，， ∴ ， 在中，M,N,H三点共线， ，， ∴ ， 故 ，. 6．（B） 如图，延长BP交AA1于，过P作交AA1于，过作交BB1于D. ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ =17-16=1， ∴ . ∴ . 由勾股定理 . 即 . 二、填空题 1． 由 ， ∴， . 2．13 ∵ ， 又 ，， ∴ ≤b≤， b可取到的整数值为-1，0，1，…，11共有13个. 3．≤S≤ ∵ , ① . ② ①×3+②×5,得 ， ①×2-②×3,得 . 由 21+5S≥0得 S≥, 14-3S≥0得 S≤. 故 ≤S≤. ③ 反之，若S满足③，易知有满足①，②的a,b存在，所以 ≤S≤. 4．63 不妨设x为奇数，y为偶数，因为的个位数字是7，因此,的个位数字必是1,6;x,y的个位数字必是1,4或1,6或9,4或9,6.又，则x,y除以4的余数必为1,0.由知，因此x可能值为1,9;21,29;41.经检验，仅当时，有，使 ， 29+34=63. 第 二 试 一、证明 ∵ ， 故 . ∵ PC=PD,PB公用， 故 ≌， ∴ BC=BD. 又∵ ， 故 ， ∴ . 二、由方程 得 ,， ① 从条件 ， . ② 将①代入②，有 ， ③ 即 ， ∵， 故 . ④ 由判别式Δ≥0得 ≥16ab. ⑤ 将③代入⑤，有 ≤4. ⑥ 由⑤,⑥可知，满足条件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1). 三、n的最大可能值是9. 先证能被3整除. 事实上， ， ∴ 是3的倍数. 设a,b被3除后的余数分别为和，则,. 若，则,或者，此时，必是3的倍数，即c为合数，矛盾. 故，则或者，此时必为3的倍数，从而是9的倍数. 再证9是最大的. ∵ 中，， 而 中，. . 因此，9是最大可能的值.