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正十七边形尺规作图
* * ——设有圆O求作内接正十七边形 第1步：作直径AP。 第2步：作半径OB⊥OP。 第3步：在半径OB上取点C，使得OC为四分之一OB,连接CP。 第4步：在半径OP上取点D，使 得∠OCD为四分之一∠OCP。 第5步：作角∠ECD＝π/4，射线CE交半径OA于点E。 第6步：以EP为直径作圆，交半径OB于K。 第7步：以D为圆心，DK为半径作圆，交半径OP于Q。 第8步：过Q作射线垂直于半径OP，交圆O于点R。 第9步：以弧PR在圆上顺次截取，得各个分点，分圆O为17等份。 第10步：依次连接就得到内切于圆O的正十七边形。 设有圆O，要求作内接正十七边形。 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。） 备 注 设正17边形中心角为a,则17a=360°, 即16a=360°-a 故sin16a=-sina, 而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a =24sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除sina有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 正十七边形的尺规作图存在之证明 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x= ,y= 其次再设: X1=cosa+cos4a, x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a, y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2= y1+y2= 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a= 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合. 故正17边形可用尺规作出。 正十七边形的尺规作图存在之证明 ——10数本一班 张力 *
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