4.2洛必塔法则_修改.ppt

中值定理与导数的应用 一、 证: 推论1. 例1. 求 例2. 求 二、 1) 2) 例3. 求 例4. 求 说明: 3) 若 三、其他未定式: 例9. 求 例10. 求 思考：求 内容小结 思考与练习 3. 4. 求 洛必达(1661 – 1704) 备用题 罗尔(Rolle)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 求下列极限 : 解: 令 则 原式 = 解: (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 解: 原式 = 练 习 题 练习题答案 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 在( a , b ) 内至少存在一点 * * * 每日一练 (3) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 (4) 设 有 个根 , 它们分别在区间 上. 方程 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第二节 洛必达法则 第四章 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 存在 (或为 ) 定理 1 型未定式 (洛必达法则) ( ? 在 x , a 之间) 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足 故 定理条件: 柯西定理条件, 存在 (或为 ) 定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2 (洛必达法则) 的情形 从而 的情形. 取常数 可用 1) 中结论 时, 结论仍然成立. 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用两边夹准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 1) 例3 , 例4 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 例3. 例4. 例如, 正确做法 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 极限不存在 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法(如等价无穷小代换、重要极限等）结合使用，效果更好. 例 解 解决方法: 例8. 求 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 解: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例11. 求 例12. 求 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 法1 但对本题用此法计算很繁 ! 法2 ～ 原式 练习： 洛必达法则 取对数 1. 设 是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 原式 ～ 分析: 分析: 原式 ～ ～ 则 解: 令 原式 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 * *