谈谈代数数论.PDFVIP

athematics Stories 数学经纬 谈谈代数数论 ——代数数论百年历史回顾及分期初探 黎景辉 内容简述：我们把代数数论过去一百多年的历史作非常简单的描述，藉此探讨如何把整个发展作分期，和展望 未来。我们不会在文中谈概念的详细定义和定理的证明，我们只打算谈一些主题和方法，希望对同学和科研管 理员有点用，也许亦会让同行加以讨论。 第一部 序幕 本文简单地讲讲代数数论的历史，希望简单的讲就 比较容易看见全貌，这样就方便把整个历史分期及 对整个过程分析。至于文中所讨论的是否属于 “代 数数论”的范围？大家都会有不同的意见。例如 ： K 当是整数环时，有人会认为研究 ( ) 是代数 n 拓扑学。有人会说K n ( p ( −d )) 的研究是属于代 F K F K 数数论，但如果 是域， n ( ) 是 理论。我不想 为此花时间争议。不管是用代数、分析、几何、拓 扑方法，我相信基本上什么是代数数论大家有相当 共识的，还有一些题目我没有谈到而有专家认为是 代数数论的范围。例如代数数论数值算法、代数数 有理逼近、代数域上的解析数论、组合与概率代数 数论、函数域上超越数论、不定方程与丢番图几何 等，只好请大家行文畅述了。我国数学家在代数数 论有非凡的成就，我认为需要专文介绍，这里没有 谈到的，请大家原谅。当然要畅顺地阅读本文是需 要一点代数知识的，比如你最少要知 〔群、环、域〕 这三件事。对学生来说，不必要看明白也可以看下 去，因为这样你最少知道还有什么可以学的。 雅可比 注：本文首发于《数学通报》（20 13 年/ 第52 卷第5 期，1-5 高斯 页；20 13 年/ 第52 卷第6 期，1-4 页）。本刊转载时，黎 狄利克雷 景辉教授对多处内容进行了修改与补充。 阿贝尔 伽罗瓦 5 1 数学文化/第 卷第 期 84 athematics Stories 数学经纬 a 奠基时代 = p v (b )−v (a ) 1 b , p 我不打算为代数数论下个定义，因为这样便把代  p p  。 把有理数域 对 - 绝对值完备化便得 -进数域 p 数数论限死了。我首先说说代数数论里几个重要的概念。  X  X 以下是代数数论的主要的奠基工作。 1. 我以 记有理数域。设 为变元，以 ( ) 记有 a