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2014届高三一轮复习 第7讲 抛物线 基础梳理 1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 准线方程 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝___________ 两种方法(1)定义法： (2)待定系数法： 【例1】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)． A. B．1 C. D. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解． 【训练1】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)． A. B．3 C. D. 【训练2】设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2)　　B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 【思路点拨】　直线与圆相交的条件为圆心到直线的距离小于半径，故只需求得圆心到准线的距离及圆的半径|FM|后解不等式．y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值． 【训练3】已知抛物线y2＝2x和定点A，抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．(1)抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离；(2)抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离，从而起到化繁为简的作用. 考向二　抛物线的标准方程及性质 【例1】已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1　　B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【思路点拨】　将直线AB方程与y2＝2px联立方程组，求出AB中点坐标，再解p，从而求出准线方程．也可利用斜率相等求解． 【例2】以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________． (2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________ 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 【训练1】根据下列条件求拋物线的标准方程： (1)拋物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)拋物线焦点在x轴上，直线y＝－3与拋物线交于点A，|AF|＝5. 【训练2】 已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为(　　)． A．－ B．± C．－ D．± (1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)SAOB＝(θ为AB倾斜角)．(4)＋为定值. (5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 【例1】已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点F，且抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．14 B．6 C．10 D．16 【例2】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有F·F＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 设抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点． (1)若BFD＝90°，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程； (2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值． 考向