6、平面向量1.docVIP

选修2-1练习六：空间向量（1） 一、空间向量的概念及其应用： (一)线性运算 例1、已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各式： （1）；（2）； （3） 2已知平行六面体ABCD－化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴； ⑵； ⑶； ⑷ （二）共面的判定 定理：对空间任意一点O，和不共线的三点A、B、C，满足向量式（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C共面。 例1、已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。 2、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，确定在下列条件下，点M是否与A、B、C一定共面： （1）； （2） （三）空间向量基本定理--------基底思想 例4、如图示，设四面体ABCD的三条棱表示四面体其它各棱及BC边上中线（Q为(BCD重心）。 例5、平行六面体AC1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，用基底表示下列向量： （1） （2） （3） （4） 4．如图，在平行六面体中，设，，分别是中点， （1）用向量表示； （2）化简：； 5、已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M是边OA的中点，G是(ABC的重 心，则用基组表示向量的表达式为 。 8、已知点G是(ABC的重心，O是空间任一点，若= 。 9、已知正方体AC1中，点E、F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中x，y的值： （1）（2）（3） 二、数量积及其应用 （一）数量积 10、空间四边形ABCD每边及对角线长均为，E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则= （二）求模 13、设，且的模。 14、向量= 。 （三）求夹角 例5、设E是正方体AC1的棱C1D1的中点，试求向量所成的角。 16、空间四边形OABC中，OB=OC，(AOB=(AOC=600，则cos= 17、空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，(OAC=450，OAB=600，求OA与BC的夹角的余弦值。 18、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则(BCD是（ ） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、不确定 19、向量，则的夹角为 . （四）证垂直 例6、已知空间四边形OABC中，M为BC中点，Q为OB的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，若AB=OC，求证：PM(QN。 21、正方体AC1中，求证：A1B(AC1。 三、空间向量的坐标运算 （一）求坐标 例7、已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，2)，求满足下列条件的点D的坐标： （1）DB//AC，DC//AB；（2）DB(AC，DC(AB且AD=BC 22、在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)在平面xoy内的射影是点P1 ；在平面yoz内的射影是P2 ；在平面xoz内的射影是P3 。 23、点P(1，3，5)关于原点O的对称点是 。 24、已知(1，2，(2)，若= 。 （二）坐标运算 25、已知向量(4，(2，(4)，=(6，(3，2)，求；；。 26、若(1，2，3)，=(2，(1，0)，=(0，5，6)，问是否存在x、y(R，使得？ 28、已知=((1，(1，1)，=((1，0，1)，则cos= 30、=(2，(3，)，=(1，0，0)，则cos= 。 31、已知=(2，(1，3)，=((4，2，x)，且(，则x= 。 （三）求模、夹角、证平行、证垂直 例9、在正方体AC1中，求证：DB1(平面ACD1。 例10、已知A(1，(2，(3)、B((1，(1，(1)、C(0，0，(5)，试证明(ABC是直角三角形。 32、点B是点A(3，4，5)在坐标平面O-xy内的射影，则= 。 33、判断下各题中的向量是否平行： （1）(1，2，(2)和（(2，(4，4） ；（2）((2，3，5)和(16，(24，40) 。 34、在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，求证：OA1(AM。 7、已知空间三点A(0，2，3)，B((2，1，6)，C(1，(1，5)。 （1）求以为边的平行四边形面积； （2）若=，且分别与垂直，求向量的坐标。