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《线性代数》考试试题标准答案 二选择填空与填空题（每小题4分） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） C C B B B 2 15 1 三．解答题（本题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （11）（8分）求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1( 0( 1( 0( 0)，(1( (1( 0( 0( 0)． 解：用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵： 8分 此矩阵的秩为4，其第2行和第3行是已知向量． （12）（8分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1((1( 2( (1( 4)T( a2((9( 100( 10( 4)T( a3(((2( (4( 2( (8)T． 解： 2分 rank(A)=2 3分 所以向量组的秩为2． 4分 a1((1( 2( (1( 4)T( a2((9( 100( 10( 4)T不成比例，所以 a1，a2为最大无关组. 8分 （13）（8分）设向量组设是线性方程组AX=0 的一个基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关． 证明：设 1分 （1） 因为是线性方程组AX=0的一个基础解系，所以是线性方程组AX=0 的一个解.故 3分 又，则 （2） 由（1），又线性无关，所以 6分 由（2），所以向量组线性无关. 8分 （14）（8分）已知ｎ阶矩阵Ａ，Ｂ满足ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，试证Ａ－E可逆，其中E是ｎ阶单位矩阵． 证明：AB-A-B=0 2分 AB-A-B+E=（A-E）（B-E）=E 6分 8分 （15）（8分）已知，求A的伴随矩阵． 解：因为 2分 4分 6分 = 8分 （16）（10分）求齐次线性方程组的通解： . 解：对系数矩阵A进行初等行变换，有 A(~( 4分 于是 ( 6分 故方程组的解为 (k1( k2为任意常数)( 10分 （17）（10分）试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵化为对角阵. 解：将所给矩阵记为A，由 (((((1)2(((10) 2分 得矩阵A的特征值为(1((2(1，(3(10( 3分 对于(1((2(1，解方程(A(E)x(0，即 ( 得线性无关特征向量((2( 1( 0)T和(2( 0( 1)T . 5分 将它们正交化、单位化得 ( ( 6分 对于(3(10，解方程(A(10E)x(0，即 ( 得特征向量((1( (2( 2)T ，单位化得( 7分 于是有正交阵P((p1( p2( p3)，使P(1AP(diag(1( 1( 10)( 10分 1