第十二讲幂级数.doc

第十二讲 幂级数、Fourier级数及其应用 一、幂级数的收敛半径与收敛域 1．收敛半径的计算——对幂级数，收敛半径可如下计算： 1），最常用； 2），当极限存在或为零； 3），当极限存在或为零。 2．收敛域的确定：先计算收敛半径，再确定端点处级数的收敛性。 例1 求级数的收敛域。 解：因 ， 因此当即时原级数收敛。当或时原级数与调和级数收敛性相同，从而发散。因此原级数的收敛域为。 □ 例2 设但不全为零，收敛， ， 证明：级数的收敛半径满足不等式：。 证明：当时有，而关于单调增加，因此。从而 ， 于是 ， 因此有。 □ 例3 求级数的收敛范围。 解：因为 ， 因此收敛半径为。 当时，记，（），则 ， （*） 注意，当不是的倍数时，因此上面等式中的第二个和式有界，而 ， 因此时原级数发散。 综合知原级数的收敛范围是。 □ 3．缺项幂级数的收敛范围的确定：可通过添加零成为普通幂级数。 例4 求级数的收敛范围。 解：添加零，使原级数成为幂级数，其收敛半径为 。 当1时级数通项不趋于零，发散。因此原级数的收敛范围是。 □ 二、幂级数求和 1．利用逐项微分或积分 例5 求级数（）。 解：级数收敛半径为。因此在内可逐项微分。记和函数为，则 。 注意，因此积分两次得 。 □ 例6 证明：对任意正整数，是的整数倍。 证明：方法一。利用归纳法。显然时即 。 设结论对成立，则当时 ， 由假设都是的整数倍，因此结论对也成立。从而结论对任意正整数成立。 方法二。记，由于级数收敛半径为。因此可逐项积分，于是 。 重复以上过程有 。 因此 ， 其中为某个正整系数多项式，从而为的整数倍。 □ 2．方程式法。 例7 求和函数 。 解：收敛半径为。逐项求导有。于是由有 。 □ 3．利用Abel 第二定理求级数和——要求级数的值，只要求出幂级数的和函数，从而有 。 例8 求级数的值。 解：（1）由Wallace公式， ， 因此原级数是Leibniz级数，收敛。 （2）考虑幂级数 ， 又（1）的估计式知收敛半径为，且在上收敛。 （3）逐项求导有 ， 即有。注意，积分得。因此 。 □ 二、函数的幂级数展开式——需要讨论收敛域 1．利用初等变形和已知的展开式 2．利用逐项微分或积分 3．利用待定系数法 4．利用Taylor级数 5．利用级数的乘、除法 例9 将下列函数展开为幂级数 （1）； （2）； （3）； （4）。 提示：（1）利用的展开式再积分； （2）利用； （3）利用； （4）方法一。利用 ， 再积分得 ，