CH2.2函数的极限.ppt

对比一下函数的极限定义与数列的极限定义 直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线． 二、自变量趋向有限值时函数的极限 下面我们精确的研究一下变化趋势 极限的四则运算法则 求极限方法举例 一、极限存在准则 二、两个重要极限 例.求 两个重要极限 例 解 极限值等于在该点的函数值，即可以用代入法求极限. 解 例 例2 解 解 例 (消去零因子法) 练习 例 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 练习 意义： 例 解 1.夹逼准则 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意: 准则 I和准则 I称为夹逼准则. 利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限是容易求的。 (1) 一般地 其中, a ≠0 为常数. 若想 若想 若想 一般的有： 函数极限的定义(definition)： 如果对于任意给定的正数 ， (不论它多么 小),总存在正数 ，只要点 都适合不等式 ,对应的函数值 ,就满足不 等式 ，那么常数 就叫做函数 当 时的极限,记作 在极限定义中： 1)?与?和x0有关,即? = ? (? , x0). 一般说来, ?值越小,相应的?值也越小. 2)不等式| f (x)－A | ?既要对任意的 ? 0 , 同时也要对x ? x0以任何方式进行都成立. 3)函数f (x)以A为极限, 但函数f(x)本身可以 不取其极限值 A. 邻域内 为什么选 函数在x0是否有定义与函数f(x)在x0 的变化趋势毫无关系，而且若取为邻域， 即写为 观察上式可得，取特殊点 又由 恒满足。 的任意性，可得 但此结论并不正确。 反例： 2、几何解释: 例4 分析： 证明 证 例5 证明 分析： 证: 例5 证明 练 习 分析： 于是取 即可。 证: y = a ? ? y = a ? ? y = a x O y x0 x0 ? ? x0 + ? 曲线只能从该矩形的左右两边穿过 考虑两个问题. y = a ? ? y = a ? ? y = a x O y x0 x0 + ? 函数在 x0 的左边可以无定义 想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？ 想想这种情形下, 函数有极限吗 ? y = a ? ? y = a ? ? y = a x O y x0 x0 ? ? 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？ 3.单侧极限（左右极限）: 例如,（分段函数） 左极限(left limit) 右极限(right limit) y = a ? ? y = a ? ? y = a x O y x0 x0 + ? y = a ? ? y = a ? ? y = a O y x0 x0 ? ? 对此有什么想法没有？ “左右重合” 定理 利用 | x ? x0 | ? ?? ?? x ? x0 ? 和极限的定义, 即可证得. 定理 如果lim f (x)=A，lim g (x)=B，则 （1）lim [f (x)?g(x)]存在，且 lim [f (x)?g(x)]=A ? B= lim f (x) ?lim g (x)． （2）lim f (x)·g(x)存在，且 lim f (x)·g(x)=A · B= lim f (x) · lim g (x)． lim 存在，且 ) ( x g ) ( x f （ 3 ）当 时， 推论2 常数因子可以提到极限记号外面. 推论1 对于数列极限也满足四则运算法则 * * 主要内容： 三、函数极限的基本性质 的图形可以看出: 如何描述它？ 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 定义 想想：如何从几何的角度来表示该定义？ 的几何意义 将图形对称过去后, 你有什么想法? 将图形对称 定义 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法? 你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理. 定义 由于 | x | X 0 ?? x X 或 x ?X, 所以, x 按绝对值无限增大时, 又包含了 x? ?? 的情形. 既包含了 x? +?, 三种极限的关系: 4、几何解释: -X X 当x-X或xX时，函数y = 图形完全落在 以直线 y=A为中心线，宽度为 的带形区域内。 注：它们的自变量的变化趋势相同。但是二者也有差异，即自变量的变化形态不同，函数的自变量是实数范围内的的连续增大，数列的自变量是自然数的离散增大。 例1 分析： 解上述不等式得 于是取 可得。 证