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第一章 行列式第一节 行列式的概念 1.1.1 二、三阶行列式 1.1.2 n元排列的逆序与对换 1.1.3 n阶行列式的定义 1.1.1二、三阶行列式一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 二、对换的定义 三、对换与排列的奇偶性的关系 1.1.3 n阶行列式的定义一、概念的引入 二、n阶行列式的定义 三、小结 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 定义 记 （7）式称为数表（6）所确定的三阶行列式. (1)沙路法 三阶行列式的计算 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 例２ 解 按对角线法则，有 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组的解为: 例3 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 问题 定义 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 1.1.2 n元排列的逆序与对换 自然数1，2，3…n按一定次序排成一排，称为n元排列,记为 一、全排列及其逆序数 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称自然排列1234….n). 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为 例1 求排列32514 的逆序数， 3 2 5 1 4 2 1 2 0 0 计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 从左向右看，分别计算出比它小的数字的个数，然后将所有的个数总和出来就是所求的逆序数。 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 2 1 7 9 8 6 3 5 4 1 0 4 5 4 3 0 1 0 所以，逆序数=1+0+4+5+4+3+0+1+0=18 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变成为标准排列（自然排列）1234 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 4、 的符号为 例1 计算上三角行列式