[工学]第10章多元线性回归分析.ppt

第五章 随机变量的数字特征 一、数 学 期 望 二、方差和均方差 三 、协方差和相关系数 [例 5.19] 设X~B(n ,p)求DX 解: [例 5.20] 设 ,求DX. 解: [例 5.21] 设X服从参数为λ的指数分布,求X的方差与均方差. 解: 注 意: 从上面的一些例子中可以看出, 只要知道上述这些随机变量的均值与方差,就可以唯一决定它的分布,这就体现了数字特征的重要意义. [例5.22] 设随机变量的均值为EX,方差为DX( 0),引入新随机变量: 试证: 证: 1. [协方差和相关系数的定义] 设X, Y是二随机变量, DX , DY存在, 则称: 为X与Y的协方差. 称 为X与Y的相关系数或标准协方差. 注 意: （i） X与Y的协方差就是X与Y的函数 g (X, Y)=(X-EX)(Y-EY)的数学期望; （ii）X与Y的相关系数就是标准化随机变量的协方差; 称X与Y相关; 称X与Y不相关. 2. [协方差的性质] 设X,Y是随机变量,a,b是常数,则: (1). Cov(x , y)=Cov(y, x); (2). Cov(aX, bY)=abCov(X, Y); (3). Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z); (4). D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y); (5). C)v(X, Y)=E(XY)-EXEY. 3. [有关相关系数的定理] 定理一: 设V, W为二随机变量, 若E(V2) ,E(W2) +∞, 则有Cauhy---Schwarz不等试: 定理二 : 若 是随机变量X, Y的相关系数, 则: [例 5.23] 设(X, Y)服从二维正态分布,求: EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y)和 解: (X, Y)的联合分布密度为: 由前面的例知: X与Y独立的充要条件是ρ=0的充要条件是X与Y不相关. [例 5.24] 设(X, Y)等可能地取(-2, 0),(0, -2),(2, 0),(0, 2),试问X与Y是否独立?是否相关? 解: X,Y的联合分布律和边缘分布律如右: Y X 由此表可得: 即X与Y不相关. 所以X与Y也不相互独立. 3. [原点矩与中心矩] 设X的分布律(密度)为pi(f (x)), k阶原点矩定义为: (1). (2). k阶中心矩定义为: 可利用原点矩求到中心矩: [例 5.26] 设X服从普阿松分布,求X的三阶中心矩. 解: X的分布律为: 5. [混合矩与协方差矩阵 ] (1).混合原点矩: (2). 混合中心矩: (3).若X,Y的四个二阶中心矩存在,分别记为: 则协方差矩阵定义为: [例 5.26] 设(X, Y)服从二维正态分布,试写出(X, Y)的协方差矩阵. 解: 可见,二维正态随机变量的联合分布密度可借助于它的协方差矩阵将指数写成矩阵形式,己于人以便推广到n维正态随机变量的情形. * 返回 第十章 多元线性回归分析 * * 返回 * §4.1 数学期望 §4.2 方差和均方差 §4.3 协方差和相关系数 基本要求: 1. 深刻理解数学期望与方差的含义; 2. 牢记数学期望与方差的定义; 3. 熟练掌握期望与方差的性质; 4. 能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见的随机变量的期望与方差; 5.深刻理解独立与相关的概念, 会求协方差与相关系数; 6. 了解高阶矩的概念. 1. [数学期望的定义] (1).(离散型) 设离散型随机变量X的分布律为: 若级数 绝对收敛, 则称: 为X的数学期望(简称期望)或均值. (2).(连续型) 设连续型随机变量X的分布密度为f(x), 若 绝对收敛, 则称 为X的数学期望或均值. 注 意： （i）期望的定义是结构型的,定义本身给出了求期望的公式,但需知道分布律或分布密度. （ii）期望的力学解释(略); （iii）并不是任何随机变量的数学期望都存在; （iv） n维随机变量的数学期望是指n个数学期望的总体, 即: [例 5.1] 设X服从(0---1)分布, 即 P{X=1}=1,P{X=0}=0, 求EX. 解: [例 5.3] 设x~π(λ), 求EX. 解: 因X的分布律为: [例 5.2] 设X~B(n , P), 求EX. 解: X的分布律为: [例 5.4] 设X在[a, b]上服从均匀分布, 求X的均值. 解: 因X的分布密度为: 0 , 其它 [例 5.5] 设