[工学]1-2行列式.ppt

1.2.2 几种特殊的行列式及其值 1．主对角形行列式 2．副对角形行列式 3．下三角形行列式 1.2.3 n 阶行列式的性质 1. 转置行列式 2 行列式的性质 性质1 性质2 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以 同一个数k，等于用数k 乘以此行列式。 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和。 行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即： 1.2.4 n阶行列式的计算 解2 这个行列式的特点是各行(列)元素之和相等， 把第二、三、四行都加到第一行，得 解3 利用行列式性质，将行列式的某一行(列) 元 素化成尽可能多的0，再对该行(列) 展开。 例1 计算行列式 解1 解2 例2 计算行列式 解1 利用性质化行列式为下三角形 例3 计算n 阶行列式 解 将第 列都加到第1列得 此例行列式的特点是：行列式的各行(列)的元素之和相同。今后凡遇此类行列式均可利用这种方法计算其值。 注意： 例4 计算四阶行列式 解 当 时 故有 或 时，行列式有两行元素相同， 当 由行列式的性质得： (Ⅰ) 把行列式加上一行和一列，并保持行列式的值 不变，即: (Ⅱ) 证 用数学归纳法 例5 证明范德蒙(Vandermonde)行列式 当 时 结论成立。 假设(1)对于 阶范德蒙行列式成立。 从第 行开始，后行减去前行的 倍得到： 按第1列展开，并把每列的公因子 提出，得 n-1阶范德蒙行列式 例6 计算行列式 解 因为此行列式是一个范德蒙行列式，所以 * * 第二节 n阶行列式 n阶行列式的定义 几种特殊的行列式 n阶行列式的计算 n阶行列式的性质 定义1.8 后所得到的 阶方阵称为 中元素 的余子阵，记作 例如 3阶矩阵 中元素 的余子阵为： 1.2.1 行列式的定义 是 阶方阵，从 中删去 设 行，第 列 第 定义1.9 表示一个与 相联系的数， 称为方阵 的行列式，也可记作 或 为 阶方阵，用 设 注意： 行列式是代数运算式，运算结果是一个数。 当 时，一阶方阵 ，即 一般地， ，用以下递归公式定义 阶行列式为： 的行列式定义为数 特别的， 对 二阶方阵 , 它的二阶行列式为 三阶方阵 , 它的三阶行列式为 例如 二阶、三阶行列式也可用下述对角线法则计算： + - - - - + + + 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 注意： 2.二阶行列式包括2!项，三阶行列式包括3! 项， 阶行列式包括 项。每一项都是处 于行列式不同行，不同列的元素的乘积， 其中红线上元素的乘积冠以正号，蓝线上 元素的乘积冠以负号。 定义1.10 称 为元素 的余子式，记作 称 即 这样，可将 阶行列式的定义写成： 阶矩阵 或 阶行列式 对 为元素 的代数余子式， 记作 即 例1 计算三阶行列式 解1 按对角线法则 － － － + + + 解2 将行列式按第一行展开 证 （主对角线上 个元素的乘积） 阶行列式的定义，得 由 证 阶行列式的定义，得 由 证 阶行列式的定义，得 由 4．上三角形行列式 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 今后用 表示行列式的第 行， 用 表示行列式的第 列。 说明： 行列式中的行与列地位同等, 行列式的 性质凡是对行成立的对列也成立. 说明: 行列式与它的转置行列式相等，即 交换行列式的两行(列)，行列式的值变号 交换 两行(列)记作 ( ) 说明： 推论: 若行列式的某两行(列)元素完全相同，则此 行列式等于零。 性质3 第 行(列)乘以 记作： 说明： 2. 若行列式中有两行(列)对应元素成比例，则此行列式为零。 3. 对 阶矩阵 ，有 推论： 1. 若行列式中有一行(列)所有元素全为0， 则此行列式的值为0。 4. 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 性质4 例如 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。即 = 性质5 2. 利用上述运算可以把行列式中的许多元素化为零。 说明： 1