[2018年必威体育精装版整理]2_1数列的极限.ppt

第 2 章 § 2 . 1 2 .1 .1 问题的引入 2. 1. 2 数 列 例如 ： 例如 ： 对于用数列所描述的实际问题而言， 如对于数列： 完全类似地， 2.1.3 数列极限的定义 例 如, 例 1. 设 例 2. 设 例 3. 设 例 4 . 注 明： 例 5. 证明数列 2.1.4 收敛数列的性质 再证唯一性： 定理 2 （保序性） 说明: 推论 2 （保号性） 例 6. 证 明 定 理（四则运算法则） 例 7. 计算 2.1.5 实数基本定理 证 明： 例 8. 设 根据准则Ⅱ可知数列 例9. 例10 . 2. 子 列 定 理：数列 （充分性） 推 论： 3. 闭区间套定理 4. 致密性定理 从而得到一闭区间序列： 5. 柯西（Cauchy）收敛准则(柯西审敛原理) (P61) 充分性： 内容小结 思考与练习 作业 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 从数列 中任意选取无限项并按原来的先后顺序 组成的数列： 称为数列 的一个子列，记作： 或者 注意： 在数列 中的序号， 在子列 中的序号， 是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 k 则是 显然有 ********************* 证 : （必要性） 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛于 a 的充要条件是： 均收敛于同一极限 a 。 其任一子列 用反证法， 由极限的定义知，对于某个 必有无穷多项， 显然这些不属于 的项必构成数列 的一个子列， 且该子列一定不收 敛于 a , 这与所给条件矛盾， 注明： 该定理的作用并非是由子序列的极限求原数列的极限， 而是由子序列的发散来推断原数列必发散。 中使得 数列 例如，数列 奇数顶子列各项取值为 (-1) ，故该子列收敛于 (-1) ； 偶数顶子列各项取值为 1，故该子列收敛于 1 ； 由于其奇、偶两子列收敛于不同的值，故原数列发散。 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有 数列 用反证法证之 由定理显然可得； 均收敛于同一极限。 收敛的充要条件是： 证 明：（必要性） 下证（充分性） 对于某个特定的 ⅱ）除去有限项外，其余各项均是 的子列， 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两子列 中不收敛于 a 的子列的构成只能有 的一个子列， 而这样的无穷多项必是数列 使得 ⅰ）除去有限项外，其余各项均是 这与条件矛盾； ⅲ）无限项是 的子列， 这与条件矛盾； 的子列， 所给条件矛盾； 无限项是 的子列， 必有无穷项， 由极限的等价定义， 以下三种情形： 这同样与 从而得： 定 理： 证 明： ⅱ） 由单调有界收敛原理得： 则存在唯一的实数ξ位于所有的区间之内。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是一串闭区间且满足条件： 单调增加有上界 数列 由条件ⅰ）知， ⅰ） 且 即 又由条件ⅱ）知， 设 单调减少有下界 数列 令 即 由极限的唯一得： 证明： 中的无穷 等分为两个小区间， 定 理（Bolzano－Weierstras）： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即满足： 为一有界的数列， 设 任一有界数列必有收敛的子列。 则其中至少有一个小区间含 将此小区间记为： 现将区间 二等分， 同样再将区间 中的无穷多个互 其中至少有一个区间含有 不相同的数， …，照此继续做下去， 若 个数反复出现无穷多次， 则其中至少有一 实际上只包含有限多个互不相同的数， 此时，选取其中出现无穷多次的这个数 构成一个子列， 若 中确实包含无穷多个互不相同的数， 多个互不相同的数， 将此小区间记为： 显然该子列必收敛。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中的无穷多个互不相同的数。 且每一个区间都含数列 由闭区间套定理知， 它们满足： 存在一实数 我们选取 但 类似地，选取 这样得到 的一子列 由子列的构成知： 选取 但 但 若数列 满足: 存在正整数 N , 使当 时, 证 : “必要性” 设 则 时, 有 使当 因此 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 定 义： 则称数列 为一 柯西（Cauchy）数列。 定 理（柯西收敛准则） 数列 收敛的充分必要条件是： 数列 为一 柯西（Cauchy）数列。 这表明数列 为一 柯西（Cauchy）数列。 机动 目录 上页 下页 返回 结